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順列：$$n$$個の中から$$k$$個を並べる並べ方。$$_{n}P_{k}$$
$$_{n}P_{k}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}$$
組み合わせ：$$n$$個の中から$$k$$個を選ぶ選び方。$$_{n}C_{k}$$
$$_{n}P_{k}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}$$
$$_{n}C_{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{_{n}P_{k}}{k!}$$
ここで、$$0!=1$$、$$_{n}C_{0}= {}_{0}C_{0}=1$$と「約束」する。
$$_{n}C_{k}$$を２項係数と呼ぶ

２項係数の性質
$$_{n}C_{k}= \. {}_{n}C_{n-k}$$
$$_{n} C _{k}= \hspace{3.5em} {}_{n-1} C _{k-1}+ _{n-1} C _{k}$$

なお、$$_{n}C_{k}$$のかわりに、$$\left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array} \right) $$
と書くこともある。
また、$$x$$が一般の実数について$$\left( \begin{array}{c} x \\ k \\ \end{array} \right) $$
を考えることができる。つまり、
$$\left( \begin{array}{c} x \\ k \\ \end{array} \right) =\frac{x(x-1)(x-2)\cdots(x-k+1)}{k!}$$
と定義する。

順列：$$n$$個の中から$$k$$個を並べる並べ方。$$_{n}P_{k}$$
$$_{n}P_{k}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}$$
組み合わせ：$$n$$個の中から$$k$$個を選ぶ選び方。$$_{n}C_{k}$$
$$_{n}P_{k}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}$$
$$_{n}C_{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{_{n}P_{k}}{k!}$$
ここで、$$0!=1$$、$$_{n}C_{0}= {}_{0}C_{0}=1$$と「約束」する。
$$_{n}C_{k}$$を２項係数と呼ぶ

２項係数の性質
$$_{n}C_{k}= \, {}_{n}C_{n-k}$$
$$_{n} C _{k}= \, {}_{n-1} C _{k-1}+ _{n-1} C _{k}$$

なお、$$_{n}C_{k}$$のかわりに、$$\left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array} \right) $$
と書くこともある。
また、$$x$$が一般の実数について$$\left( \begin{array}{c} x \\ k \\ \end{array} \right) $$
を考えることができる。つまり、
$$\left( \begin{array}{c} x \\ k \\ \end{array} \right) =\frac{x(x-1)(x-2)\cdots(x-k+1)}{k!}$$
と定義する。