確率 > 確率の基礎 > 順列・組み合わせ


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順列:n個の中からk個を並べる並べ方。_{n}P_{k}
_{n}P_{k}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}
組み合わせ:n個の中からk個を選ぶ選び方。_{n}C_{k}
_{n}P_{k}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}
_{n}C_{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{_{n}P_{k}}{k!}
ここで、0!=1_{n}C_{0}= {}_{0}C_{0}=1と「約束」する。
_{n}C_{k}を2項係数と呼ぶ

2項係数の性質
_{n}C_{k}= \, {}_{n}C_{n-k}
_{n} C _{k}= \, {}_{n-1} C _{k-1}+ _{n-1} C _{k}

なお、_{n}C_{k}のかわりに、\left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array} \right)
と書くこともある。
また、xが一般の実数について\left( \begin{array}{c} x \\ k \\ \end{array} \right)
を考えることができる。つまり、
\left( \begin{array}{c} x \\ k \\ \end{array} \right) =\frac{x(x-1)(x-2)\cdots(x-k+1)}{k!}
と定義する。