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* 問題
> 22 名前：未解決[sage] 投稿日：2005/06/02(木) 03:26:42
> 自然数 n が次の性質を満たすとき、nを「良い数」と呼ぶことにする。
> 
> 性質：nをいくつかの正整数の和にうまく分割すると、それらの逆数の和を1にできる。
> 　　　 すなわち n=a1+a2+‥‥+ak 、　(1/a1)+(1/a2)+‥‥+(1/ak)=1 とできる。
> 
> 例1：9は良い数である。9=3+3+3 であり、1/3+1/3+1/3=1。
> 例2：10は良い数ではない。実際どのような分割に対しても、逆数の和が1にはならない。
> 例3：11は良い数である。11=2+3+6、1/2+1/3+1/6=1。
> 
> 問題：良くない数は高々有限個であることを示し、その最大値を求めよ。

> 25 名前：22[sage] 投稿日：2005/06/02(木) 10:21:14
> 訂正。10は良い数でした。10=4+4+2。
> 
> >>23
> 良くない数：＝自然数であって良い数ではない数

* 解答

> 26 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/06/02(木) 13:13:41
> >>22 すげー汚いし、有限性だけだけど
> 
> n が十分大きいとき、n を分割して逆数の和を 1 にするアルゴリズムを示す
> 
> (1) n≡0 (mod 2) なら a_1=8、そうでなければ a_1=9+72 として、
> n_1=n-a_1 とする。n_1≡0 (mod 2) は明らか。
> (2) n_1≡0 (mod 4) なら a_2=8、そうでなければ a_2=10+40 として、
> n_2=n_1-a_2 とする。n_2≡0 (mod 4) は明らか。
> (3) n_2≡0 (mod 8) なら a_3=8、そうでなければ a_3=12+24 として、
> n_3=n_2-a_3 とする。n_3≡0 (mod 8) は明らか。
> (4) n_3=8(29+n_4) と分割する。
> 任意の自然数は４個の(0を含む)平方数の和で表せるので、
> n_4 = b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + b_4^2 とする。
> (5) b_1～b_4 に 0 が k 個 (0≦k≦3) 含まれているとする。
> n_5=29-k, n_6=n_4+k とする。n_3=8(n_5+n_6)、
> n_6 = c_1^2 + c_2^2 + c_3^2 + c_4^2 (c_i > 0) となる。
> 
> 以上で n = a_1 + a_2 + a_3 + 8n_5 + 8Σc_i^2 と分割できた。
> 
> (6) a_1,a_2,a_3 は分割して逆数の和を 1/8 にできる。
> (7) 26≦n_5≦29 で、26～29 は良い数。
> (26=4+4+6+6+6, 27=3+6+6+6+6, 28=4+4+4+8+8, 29=2+3+12+12)
> n_5 = Σk_i, Σ1/k_i = 1 とできるので、
> 8n_5 = Σ8k_i, Σ1/(8k_i) = 1/8 のように
> 8n_5 を分割して逆数の和を 1/8 にできる。
> (8) 8c_i^2 を c_i 個の 8c_i に分割すれば、逆数の和を 1/8 にできる。
> 
> 以上で a_1, a_2, a_3, 8n_5, 8c_i (1≦i≦4) をそれぞれ分割して、
> 逆数の和を 1/8 にできたので、
> n を分割して逆数の和を 1 にできる。

> 27 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/06/03(金) 03:54:35
> >>22
> >>26の議論で、400以上の良くない数は存在しないことがわかる
> もう少し修正すれば、上限を 250 程度まで下げられる
> 
> 適当にプログラム書いて調べてみたら、
> （完全探索じゃないし、あまりチェックしてないけど）
> ↓以外は良い数みたい
> 
> 2,3,5,6,7,8,12,13,14,15,19,21,23,24,30,31,32,33,37,39,43,57
> 
> あとは 57 が本当に良くない数かどうか調べなきゃならない

> 28 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/06/03(金) 04:10:38
> 33=3+3+9+9+9
> 57=3+9+9+9+9+9+9
> だった
> 
> 2,3,5,6,7,8,12,13,14,15,19,21,23,24,30,31,32,37,39,43

> 29 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/06/03(金) 04:39:48
> あわわ…
> 24=2+4+6+12
> 30=2+3+10+15
> 31=2+4+5+20
> 32=2+3+9+18
> 37=2+3+8+24
> 39=2+6+6+10+15
> 43=3+6+6+8+8+12
> 
> 残り
> 2,3,5,6,7,8,12,13,14,15,19,21,23

> 30 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/06/03(金) 05:48:06
> 24以下の数は4個以下の数の組合せで表される。
> 
> 4個以下の組み合わせをリストアップ。
> (1)(2,2)(2,3,6)(2,4,4)(3,3,3)
> (2,3,7,42)(2,3,8,24)(2,3,9,18)(2,3,10,15)(2,3,12,12)
> (2,4,5,20)(2,4,6,12)(2,4,8,8)(2,5,5,10)(2,6,6,6)
> (3,3,4,12)(3,3,6,6)(3,4,4,6)(4,4,4,4)
> 
> 和が24以下になるのは和が1,4,9,10,11,16,17,18,20,22,24の時。
> >>29の残りと合わせて全部。

> 35 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/06/03(金) 09:49:32
> >>31
> >>26のアルゴリズムが動くには、(4)のところで
> n_3 ≧ 8(29+1) = 240
> であればよい。
> n_3 = n - (a_1 + a_2 + a_3),
> a_1 + a_2 + a_3 ≦ 81 + 50 + 36 = 167
> だから、n ≧ 240 + 167 = 407 であれば十分。
> 
> あと、26～29 が４個の連続する良い数であることを
> 使っていて、これは 24～27 に置き換えられるから、
> そのときは n ≧ 8(27+1) + 167 = 391 であれば十分。
> つまり、391以上の良くない数は存在しない。
> 
> (5)の書き方おかしかったけど、
> これは、４個の0を含む平方数の和だと具合が悪いから、
> ４個の0でない平方数の和になるように、
> 29 のほうから必要なぶんだけ(k個の)1をもらって来て、
> b_i=0 のところを 1 で埋めてる。
> 
> ４平方数の定理はこのへん
> ttp://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuron/node40.html

> 41 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/06/05(日) 06:24:05
> >>31 >>35
> 上限を落として 56 以上の良くない数が存在しないことが言える。
> 
> n = 6a + b (a＞0, b∈{30,33,35,50,52,55}) と分割する。
> a を４個以下の正の平方数の和で表せば、
> 6a を分割して逆数の和を 1/6,2/6,3/6,4/6 のいずれかにできる。
> b を分割して逆数の和を 2/6,3/6,4/6,5/6 のいずれにもできる(*)ので、
> 結局 n を分割して逆数の和を 1 にできる。
> 
> (*)
> 30 = 6+12+12 = 3+9+18 = 3+9+9+9 = 2+8+8+12
> 33 = 6+9+18 = 6+9+9+9 = 3+6+12+12 = 2+6+10+15
> 35 = 5+15+15 = 3+8+24 = 4+4+9+18 = 2+6+9+18
> 50 = 10+10+15+15 = 5+5+20+20 = 4+6+8+16+16 = 2+12+12+12+12
> 52 = 4+24+24 = 3+7+42 = 3+10+12+12+15 = 2+10+10+15+15
> 55 = 6+7+42 = 5+5+15+30 = 3+4+24+24 = 2+4+21+28