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* 幾何１０－１０
> 347 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/09/25(日) 21:34:42
> 平面上に直線が何本かあり、直線同士が交わって出来る交点が2つ以上あるとする。
> この時、いずれかの交点は直線が2本だけしか通ってない事を証明せよ。

* 解答
> 352 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/09/26(月) 23:42:56
> >>347
> 泥臭いかもしれないけどゴリゴリやったらできた･･･ハズ。
> もしそのような直線の有限集合Sが存在したとする。l∈Sをひとつ固定する。
> Pを交点の集合としてPの元でl上でなくかつlとの距離が最小であるものの一つXをとる。
> まずaを通る直線でlと平行でないものが3つ以上あるときを考える。
> そのうちの３つをm,n,kとする.。m,n,kとlの交点をy,z,wとするときY,Z,Wがl上この順に
> ならんでいるとしてよい。すると仮定よりzを通る直線がlとn以外にもう一つ必要だが
> それはかならず線分XYか線分XZの端点以外の部分と共有点をもつことになり
> その点はXよりもlとの距離が小さくなる。これはXの取り方に反する。
> よってXを通るSの元は３個であり内一つはlと平行。それをmとする。
> 直交座標xyを設定してl:y=0、m:y=1と仮定して一般性をうしなわない。
> l上の点でx座標が最大である点をA(a,0)、m上の点でx座標が最大である点をB(b,1)とする。
> さらにBをとおる直線でmとの交点のx座標が最大になる点をC(c,0)、
> Aをとおる直線でlとの交点のx座標が最大になる点をD(d,1)とおく。
> c<aと仮定する。Aを通るl以外の直線は２つ以上あるのでいづれかはBをとおらない。
> それをkとおく。するとkはlのx>bの部分かまたは線分BCの両端点以外の部分と交叉する。
> これはbの最大性やXがもっともlに近いこと等に反する。よってc=a。同様にしてd=b。
> Aを通るlと直線AB以外のSの元uと、Bを通るmと直線AB以外のSの元vをとる。
> 仮定よりuとmの交点をE(f,1)とすればbの最大性よりf<b。
> vとlの交点をE(e,0)とすればaの最大性よりe<a。よってABFEはこの順で台形ABFEの頂点と
> なるが対角線AFとBEの交点のy座標は0より大きく1より小さい。矛盾。

> 353 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/09/26(月) 23:55:23
> ウチの本によると、>>347と>>303は同値であるらしい。同値であることの
> 証明は載ってなかったけど。
> で、本に載ってた>>347の証明を読んだが、方針は>>352と同じで「Pの元で
> l上でなくかつlとの距離が最小であるものの一つXをとる。」として始めて
> いた。その後は 面倒な計算なしに かなりすっきり終わってた。

303 とは [[幾何９>幾何20050916234112]]

> 354 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/09/26(月) 23:56:39
> >>353
> その本を紹介してください。

> 355 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/09/27(火) 00:29:20
> 初等的に解いた高等数学の問題(III)
> 数学新書
> ア・エム・ヤグロム他
> 東京図書
> 
> でつ。