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* 問題
> 977 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/05/25(水) 18:48:18
> △ＡＢＣはＡＢ＝ＡＣたる二等辺三角形である。
> Ｃから辺ＡＢに垂線を下し，その足をＭとし，Ｍから辺ＢＣに垂線を下し，その足をＮとする。
> ＭＮ＝３，ＡＮ＝４のとき，ＡＢの長さはいくらか。

* 解答
> 15 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/06/01(水) 18:22:18
> 各点の座標を
> A=(u,v), B=(b,0), C=(c,0), M=(0,m), N=(0,0)
> とおく．ただし u^2+v^2=AN^2=4^2, m=NM=3.
> 
> t=(v-m)/uとすると直線MBとMCは次のようにあらわされる
> 直線MB: y=tx+m， 直線MC: y=-(x/t)+m
> したがって，b=-(m/t)，c=mt=-m^2/b と書ける．
> 
> △ABCがAB=ACなる二等辺三角形である条件は
> u = (b+c)/2 = (b-m^2/b)/2 ∴ -2bu + b^2 = m^2
> 
> すると
> AB^2 = (u-b)^2 + v^2
> = (u^2 + v^2) + (-2ub + b^2)
> = AN^2 + AM^2
> = 25
> 
> よってAB=5．

> 21 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/06/02(木) 01:46:06
> >>14
> >>15お見事
> おくればせながら>>14の別解
> BCの中点をHとする
> AB^2 = AH^2 + BH^2
> 4^2 = AH^2 + NH^2
> 上の式から下の式を引くと
> AB^2 - 4^2 = BH^2 - NH^2 = (BH + NH )(BH - NH)
> NはBC上にあるのでBH - NH > 0であり、
> 右辺は BN * CN(=CN * BN)に等しい
> 一方△BMN ∽ △MCNであるので
> BN / 3 = 3/ CN よって BN * CN = 3^2
> AB^2 - 4^2 = 3^2
> ∴AB = 5