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* 幾何１１－３
> 78 名前：数ｾﾐから拝借してﾁｮｯﾄ変えてみました。[] 投稿日：2005/12/24(土) 02:19:28
> 次の条件を満たす平面上の閉曲線S考える。
> 
> ・Sは原点を通る任意の直線と2点で交わる
> ・Sは原点を中心とする単位円周の任意の接線と2点で交わる
> ・|a|<1とする。Sは直線y=aと2点で交わる
> ・|a|<1とする。Sは直線x=aと2点で交わる
> 
> このとき、Sは原点を中心とする単位円周と言えるか。

> 79 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/24(土) 02:22:47
> >>78
> ＞・Sは原点を中心とする単位円周の任意の接線と2点で交わる
> 　
> こんな条件があんのになんでSが単位円周になりえるわけ？

> 80 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/24(土) 02:25:56
> 楕円 x^2/9 + y^2/4 = 1 とかでもいいような

> 81 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/12/24(土) 02:29:28
> >79
> すみません。書き間違えました。2点ではなく1点です。

> 82 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/24(土) 02:30:21
> >>81
> 一点のみを共有する？交わるじゃなくて？

> 83 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/12/24(土) 02:34:19
> >82
> 交わるです。

> 84 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/24(土) 02:35:17
> >>83
> じゃあ単位円周でもその条件みたしてないじゃん。

> 85 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/12/24(土) 02:38:29
> >84
> 何故ですか？馬鹿ですみません。1点を共有する=1点で交わるとの解釈です。

> 86 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/24(土) 02:42:02
> >>85
> 普通わざわざ“交わる”という単語をつかうときは“接する”状態はふくめないだろ？
> てか“共有点をもつ”ってかけばその手のまぎらわしさなしに伝わるんだから。
> なんでわざわざそんな誤解をうむ言葉づかいするんだよ？

> 87 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/24(土) 02:44:44
> >>79
> “閉曲線”は“単純閉曲線”？

> 88 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/12/24(土) 02:52:06
> >86
> 接することも交わることとの解釈からです。
> あと、(単位円周でないようなSがあった場合に)交わるとの表記の方が一般性を持つだろうとの判断です。
> 誤解を与えたならば申し訳ありません

> 89 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/12/24(土) 02:54:34
> >87
> そういう方向で。単純でない場合はこちらも全く考えていなかったので…。

* 解答
> 90 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/24(土) 03:32:23
> >>89
> じゃあこんな感じで。
> S1={(x,y)|x^2+y^2=1}とおく。同型写像f:S1→Sを固定しておく。
> 以下閉半直線L(θ)をL(θ)={(rcosθ,rsinθ) | r≧1}
> とする。まずL(θ)∩S=φを示す。あるp∈L(θ)∩Sがとれたとする。
> M:{(x,y)| xcosθ+ysinθ=1}、N:{(x,y)| xcosθ+ysinθ=-1}とおく。
> 仮定よりS∩Nは空でないのでq∈S∩Nをとる。同型写像g:S1→Sを
> g((1,0))=p、g(-1,0)=qととる。
> gの連続性と直線Mによって分割される２つの開半平面のことなる成分にp,qがあるから
> からα=(cosu,sinu)、β=(cosv,sinv)をg(α)、g(β)∈S∩M、0<u<π、-π<v<0ととれる。
> しかしこれはS∩Mが１元集合であることに反する。
> よってS∩L(θ)は任意のθに対し空である。
> これをもちいてSが単位円であることをしめす。仮定により任意のφにたいして
> S∩{(x,y)| xcosφ+ysinφ=1}は１元集合{p}とかけるがもしp≠(cosφ、sinφ)であれば
> pはあるθをとってL(θ)にふくまれる。これは前段の帰結に反する。
> よってS∩{(x,y)| xcosφ+ysinφ=1}=(cosφ,sinφ)である。これからSが単位円周となることは容易。□

> 91 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/24(土) 04:37:25
> ・Sは単純閉曲線
> ・Sは原点を中心とする単位円周の任意の接線と1点で交わる
> 
> ↑この2条件だけでよくね？

> 92 名前：91[sage] 投稿日：2005/12/24(土) 05:50:45
> デキタ。でも説明するのﾏﾝﾄﾞｸｾ。泥臭い方法だし。