面白い問題おしえて~な@数学板 集合20050629213733

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問題

82 名前:78[] 投稿日:2005/06/29(水) 21:37:33
おっと、反例があったか。
では R の部分集合 X で、任意の 0 でない実数 a が 
a = b - c, b, c ∈ X として一意にかけるような X はあるか?

解答

89 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/07/03(日) 20:31:40
>>86
Ωを連続濃度とし、正の実数全体を整列させて {r_α} (α<Ω) とする。
実数の集合 V_α (α<Ω) を以下のように定める。

1) V_0 = 空集合
2) αが極限順序数のとき、V_α = ∪V_β (β<α)
3) α=β+1 のとき。
V_βの濃度はΩより小さいことが帰納法により証明できる。

イ) V_β中の2点で距離が r_β となるものがあれば、V_α=V_β とする。

ロ) V_β中の2点で距離が r_β となるものがないときは、
V_βに距離が r_β となるような2点 {x,y} を新たにつけ加える。

距離が r_β となるような2点 x,y で、
x,y のどちらかが、 V_βの元であるか、V_β のある点との距離が
V_β 中のある2点間の距離として実現されているような x,y の組の濃度もΩより小さい。
距離が r_β となるような2点の組全体の濃度はΩだから、上の条件を満たさないような
x,y の組が存在するので、V_α=V_β∪{x,y} と定める。

V=∪V_α (α<Ω) と定めれば、V が求める集合となる。

90 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/07/03(日) 20:38:48
ちょっと工夫が必要だが、同じようにして次もできる。

ユークリッド平面の点集合 V で次を満たすものがある。
1) V のどの異なる3点も一直線上にはない。
2) どんな三角形に対しても、V の異なる3点を頂点とする三角形で、
与えられた三角形と合同になるものがただひとつ存在する。

91 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/07/03(日) 20:41:16
>>89
>V_α=V_β∪{x,y}
 
とさだめたときV_αの任意の異なる4元a,b,c,dでa-b=c-dを満たすものがないことの
保証がよくわからないんだけど。

92 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/07/03(日) 20:56:59
ごめんなさい。{x,y} の条件に次を追加する必要があった。
(*) x,y の中点は、V_β の2点の中点と一致しない。


V_β∪{x,y}から4点 a,b,c,d を取ったとき、a-b≠c-d を示す。

a,b,c∈V_β で d=x のとき。
c,x の距離が V_β の2点 a,b の距離と一致するので、x,y の定め方に反する。

a,b の距離が r_β (=x,y の距離) となることはないので、
a,b∈V_β で c=x,d=y は起き得ない。

a,c∈V_β で b=x,d=y のとき、
a-x=c-d より a-c=x-y となるので上と同様。

a,d∈V_β で b=x,c=y のとき。(この場合が抜けていた)
a,d の中点と b,c の中点が一致してしまう。

93 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/07/03(日) 21:15:03
>>92
今度は
V_β中の2点で距離が r_β となるものがないとき
距離が r_β となるような2点 {x,y} で
(*)x,y の中点は、V_β の2点の中点と一致しない
を満たす {x,y} が存在することの保証がいると思うんだけど。

94 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/07/03(日) 21:54:04
V_β の2点の中点全体の濃度もΩより小さいので、それは容易。

95 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/07/03(日) 22:02:25
>>94
濃度に関する議論なんかでホントにいえんの?ちょっと信じられないんだけど。
詳しく解説おながいしまつ。

96 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/07/03(日) 22:07:33
x,y の距離は r_β と決っているから、x,y の組と x,y の中点は 1対1 に対応している。

97 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/07/03(日) 22:11:50
>>96
それはわかってるけど。それで?

98 名前:97[sage] 投稿日:2005/07/03(日) 22:18:11
あ、いやわかったかも。なるほど。いえてるね。