面白い問題おしえて~な@数学板 確率20050822191322

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問題

213 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/08/22(月) 19:13:22
0と1の数字がランダムに並べられた十分大きな乱数表を考える。
乱数表では「・・・010101・・・」と0,1が交互に並ぶよりも
「・・・001111000・・・」のように連続して団子になっているところが多い。
このような0や1の団子の大きさが平均してどれほどかを考える。

(1)乱数表から無造作にひとつ数字を選び、その数字を含む団子の大きさを量る。
(例)…011110・・・の左から3番目の1を指定した場合、団子の大きさは4
   大きさ1の団子も考える。このように団子を選ぶとき、その大きさの期待値を求めよ。
(2)乱数表から無造作にひとつ数字を選び、その数字を含む団子の"右隣の"団子の大きさを量る。
   その期待値を求めよ。

解答

215 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2005/08/22(月) 19:31:24
>>213
えらんだ数字とおなじ数字が右側につづく数をあたえる確率変数をR、
えらんだ数字とおなじ数字が左側につづく数をあたえる確率変数をLとおく。
P(R≧n)=(1/2)^n、P(L≧n)=(1/2)^nであるから
E(R)=P(R≧1)+P(R≧2)+P(R≧3)+・・・=1/2+1/4+1/8+・・・=1
E(L)=P(L≧1)+P(R≧2)+P(R≧3)+・・・=1/2+1/4+1/8+・・・=1
E(団子の大きさ)=E(L+1+R)=3
E(その数字を含む右隣の団子の大きさ)=E(1+R)=2
 
あってる?

217 名前:215[] 投稿日:2005/08/22(月) 20:00:11
あれ?
>その数字を含む団子の"右隣の"団子の大きさを
って団子のその数字から右側の部分じゃないか・・・でなおしてきまつ。

218 名前:215[] 投稿日:2005/08/22(月) 20:03:32
“右隣”の団子の大きさをあたえる確率変数をXとおく。
P(X≧n)=(1/2)^(n-1)であるから
E(X)=P(X≧1)+P(X≧2)+P(X≧3)+・・・=1+1/2+1/4+・・・=2
E("右隣の"団子の大きさ)=E(X)=2
かな?