代数１０－１
365 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/09/28(水) 06:22:11 n次の実正方行列A＝(aij)とn次対称群Snを考える。任意のf∈Snに対して Π[iー1～n]aifi＝0が成り立つための、Aの必要十分条件を求めよ。
解答
424 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/10/14(金) 23:53:28 >>365 行列のサイズをnxnとしてa+b>nととり、 axbの零行列をOとする。A,B,Cをax(n-b),(n-a)xb,(n-a)x(n-b)行列として |OA| |BC| を考え、これに行の入れ替え、列の入れ替えをおこなったものです。証明は zeroでない要素をあればとり、仮に1,1成分として、(n-1)x(n-1)小行列 について帰納法の仮定を使う。さらにこれを利用してブロックわけして 仮にn=p+qとして、pxp, qxqについて帰納法の仮定をもちいる。
425 名前：365[sage] 投稿日：2005/10/15(土) 03:19:56 正解です。これを使って、次の問題が簡単に解けます。 k種類の石がn個ずつある。これらkn個の石を、k個の箱にn個ずつ入れる。 どんな石の入れ方に対しても、これらk個の箱から1つずつ石を選んで(合計で k個の石を選ぶ)、k種類の石を全て取り出すことが出来ることを示せ。 (初等的に解いた高等数学の問題3より) 本には別の解答が載っていました。この定理と、これを少し一般化した定理は、 現代数学の多くの問題に対して重要らしいです。でもそんなの見たことないよorz
426 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/10/15(土) 06:12:19 >425 このスレの趣旨には合わないかもしれないけど、 Hall の結婚定理を使っても簡単に解けるね。 ＞これを少し一般化した定理 ってのは本に載ってるの？ だとしたら、うぷしてもらえませんか？
