面白い問題おしえて~な@数学板 20050928062211

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代数10-1

365 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/09/28(水) 06:22:11
n次の実正方行列A=(aij)とn次対称群Snを考える。任意のf∈Snに対して
Π[iー1~n]aifi=0が成り立つための、Aの必要十分条件を求めよ。

解答

424 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2005/10/14(金) 23:53:28
>>365
行列のサイズをnxnとしてa+b>nととり、
axbの零行列をOとする。A,B,Cをax(n-b),(n-a)xb,(n-a)x(n-b)行列として


|OA|
|BC|

を考え、これに行の入れ替え、列の入れ替えをおこなったものです。証明は
zeroでない要素をあればとり、仮に1,1成分として、(n-1)x(n-1)小行列
について帰納法の仮定を使う。さらにこれを利用してブロックわけして
仮にn=p+qとして、pxp, qxqについて帰納法の仮定をもちいる。

425 名前:365[sage] 投稿日:2005/10/15(土) 03:19:56
正解です。これを使って、次の問題が簡単に解けます。

k種類の石がn個ずつある。これらkn個の石を、k個の箱にn個ずつ入れる。
どんな石の入れ方に対しても、これらk個の箱から1つずつ石を選んで(合計で
k個の石を選ぶ)、k種類の石を全て取り出すことが出来ることを示せ。
(初等的に解いた高等数学の問題3より)

本には別の解答が載っていました。この定理と、これを少し一般化した定理は、
現代数学の多くの問題に対して重要らしいです。でもそんなの見たことないよorz

426 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/10/15(土) 06:12:19
>425
このスレの趣旨には合わないかもしれないけど、
Hall の結婚定理を使っても簡単に解けるね。

>これを少し一般化した定理
ってのは本に載ってるの?
だとしたら、うぷしてもらえませんか?