面白い問題おしえて~な@数学板 確率20051003004831

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確率10-5

366 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2005/10/03(月) 00:48:31
裏面が白紙で、表面に数字 1, 2, 3, 4 の書かれたカード (1), (2), (3), (4) がある。
はじめ、机の上に4枚とも表にしておく。1回の操作において、無作為に2枚を裏返す。
n回の操作の後、すべてのカードが表を向いている確率を求めよ

解答

368 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2005/10/03(月) 01:33:32
>>366
カードに番号がかいてあることに意味あんの?
n回目の操作後にカードが表0枚の状態をXn、表2枚の状態をYn、表4枚の状態をZnとおく。
あきらかにP(X1)=P(Z1)=0、P(Y1)=1。対称性からすべてのnでP(Xn)=P(Zn)。
P(A∩B)/P(B)をP(A|B)とかく。遷移行列は
P(X(n+1)|Xn)=0、P(Y(n+1)|Xn)=1、P(Z(n+1)|Xn)=0、
P(X(n+1)|Yn)=1/6、P(Y(n+1)|Yn)=2/3、P(Z(n+1)|Yn)=1/6、
P(X(n+1)|Zn)=0、P(Y(n+1)|Zn)=1、P(Z(n+1)|Zn)=0、
P(X(n))=an、P(Yn)=bn、P(Zn)=cnとおくと次の漸化式をえる。
a(n+1)=(1/6)bn、b(n+1)=an+(2/3)bn+cn、c(n+1)=(1/6)bn
といて
an=(1/4)-(3/4)(1/3)^n、bn=(1/2)+(3/2)(1/3)^n、cn=(1/4)-(3/4)(1/3)^n

369 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/10/03(月) 01:39:40
>>368
元の問題は、n回の操作で、(1)のカードが表を向いている確率を求めよ。
というのがありました

370 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/10/03(月) 01:49:36
>>369
それは、n回の操作で、(1)のカードが表を向いている確率をPnと置くと
P0=1、P1=1/2
一回の操作で、(1)のカードがひっくり返る確率は1/2なので
Pn=(1/2)P(n-1)+(1/2)(1-P(n-1))=1/2
n≧1でPn=1/2は簡単に得られますな

377 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2005/10/03(月) 05:21:21
>>368
bn=(3/4)+(1/4)(-1/3)^(n-1) では?

378 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/10/03(月) 05:24:20
>>366
> 裏面が白紙で、表面に数字 1, 2, 3, 4 の書かれたカード (1), (2), (3), (4) がある。
> はじめ、机の上に4枚とも表にしておく。1回の操作において、無作為に2枚を裏返す。> > n回の操作の後、すべてのカードが表を向いている確率を求めよ

n回の操作の後、(1)、(2) のカードが表を向いている確率を求めよ。
としたら面白いのではなかろうか?