数論20051027230731 - 面白い問題おしえて～な＠数学板

数論１０－９

481 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/10/27(木) 23:07:31
n≧2の時　M_n=4^n-1 とする。
この時k個の素数の積となる　M_n=（p_1）^（l_1）*（p_2）^（l_2）…（p_k）^（l_k）
l_1、l_2、…l_kは適当な自然数である。

4^（n-1）≧k^2 を証明せよ

解答

482 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/10/28(金) 06:13:59
>>481　M_kの相異なる素因数の個数の評価だとしたら、それは粗いんじゃないか？

M_n は必ず3で割り切れて、それ以外の素因数(あるとすれば)は5以上だから、M_n≧3*5^(k-1)。
一方、M_n≦3*5^(n-1) が成立することは帰納法で容易に示せる。よって k≦n。
ここから k≦2^(n-1) であることはすぐに出る。