面白い問題おしえて~な@数学板 数論20051027230731

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数論10-9

481 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/10/27(木) 23:07:31
n≧2の時 M_n=4^n-1 とする。
この時k個の素数の積となる M_n=(p_1)^(l_1)*(p_2)^(l_2)…(p_k)^(l_k)
l_1、l_2、…l_kは適当な自然数である。

4^(n-1)≧k^2 を証明せよ

解答

482 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/10/28(金) 06:13:59
>>481 M_kの相異なる素因数の個数の評価だとしたら、それは粗いんじゃないか?

M_n は必ず3で割り切れて、それ以外の素因数(あるとすれば)は5以上だから、M_n≧3*5^(k-1)。
一方、M_n≦3*5^(n-1) が成立することは帰納法で容易に示せる。よって k≦n。
ここから k≦2^(n-1) であることはすぐに出る。