面白い問題おしえて~な@数学板 確率20051117010742

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確率10-9
584 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/11/17(木) 01:07:42
n個のしぼんだ風船が一列に並んでいます。
各風船の容量は 1/i (i=1,2,,,,n)で互いに異なり、外見からは容量がわかりません。
どのような順番で並んでいるかもわかりません。
容量を超えて空気を入れると風船は割れてしまいます。

このn個の風船に対し、できるだけたくさんの空気をいれることを考えます。
(風船が割れてしまった場合はカウントされません)
どのような戦略をとれば沢山の空気をいれることができるでしょうか。

期待値ができるだけ大きくなるような、
確率的な戦略を考えてみてください。

585 名前:584[sage] 投稿日:2005/11/17(木) 01:39:08
補足です。

風船に一定量の空気を入れてみて、割れなかったらさらに後から足す、
ということは可能とします。

解答
588 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2005/11/17(木) 13:05:16
>>584
期待値の下限が、
1/(1^2) + 1/(2^2) + 1/(3^2) 1/(4^2) + …… + 1/(n^2)
になるところまでは分かった。

589 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2005/11/17(木) 13:07:05
↑あ、ごめん。+記号一個抜けてたw
まあ、分かるよね。

600 名前:584[sage] 投稿日:2005/11/18(金) 07:27:56
>588
風船をランダムに並べ替えて、順に1の空気を入れていって
1入れることに成功すれば残りのものに1/2を入れていって
成功すれば1/3....
ただし、容量 1/k の風船が過去に割れていることがわかっていれば
(風船が割れれば容量がわかる)1/kを飛ばして1/(k+1)を試す

というやり方ですよね。
もう少し工夫すると、Σ1/k!まであげることが知られています。
私の思いついたのはΣ1/k!よりほんのちょっぴり大きくなるものですが、
よりよい戦略はまだあると思います。

601 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/11/18(金) 08:20:34
n個のふうせんがある
まず全部に 1/n の空気を入れる
次に、一つを横にのけておいて、残りの(n-1)個に 1/(n-1) の空気を入れる
成功すれば、その(n-1)個ではじめにもどる
失敗すれば、のけておいたふうせんと割れなかった(n-2)個のふうせんの
あわせて(n-1)個ではじめにもどる

これでも同じ結果になるな

602 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/11/18(金) 12:21:59
割れたら駄目という意味だと思ってた。