幾何１０－１６
966 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/11(日) 18:43:06 平面上に長さ1の曲線が一本ある。 点集合Sをこの曲線上の点から距離1以内にある点の集合だとするとき、 Sの最大値もとめてくれ
967 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/11(日) 18:47:24 点集合の最大値ってどういうこと？
968 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/11(日) 18:49:58 ごめん、Sの面積
解答
969 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/11(日) 19:07:15 >>966 曲線自体も変化するの？なら勘で長さ１の線分のとき。
970 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/11(日) 19:07:33 5.14
971 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/11(日) 19:08:21 >>969 うん、曲線が変化する・・・っていうか、曲線以外何か動かせそうなものあるかな
977 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/11(日) 22:07:52
>>966
でけた。以下N(S)={x| |x-y|≦1 ∃y∈S}とする。
･補題 Cが長さlの折れ線のときN(C)の面積はπ+2l以下である。
(証明) 折れる回数に関する帰納法。線分のときはあきらか。Cがn回折れてる折れ線とする。
CをC=C’∪C’’、C’’は線分、C’は折れてる回数がn-1回の線分と分割する。
C’、C’’の長さをl’、l’’とする。帰納法の仮定よりN(C’)の面積はπ+2l’以下。
のこりの部分はC’とC’’の継ぎ目をPとするときにN(C’’)＼N(C’)は
N(C’’)＼N({P})にふくまれるが後者の面積はちょうど2l’’。
よってN(C)の面積はπ+2l以下である。□
これと折れ線近似の理論を用いて長さlの曲線CについてN(C)の面積はπ+2l以下である。
l=1のときは2π+2、と思う。
978 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/11(日) 22:40:03 いきなり2πってなったのなんで？？
979 名前：977[sage] 投稿日：2005/12/12(月) 00:28:38 >>978 書き間違えっすorz。答えはおそらくπ+2。
980 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/12(月) 06:51:16 >>966 Sの面積ってちゃんと定まるの？Sの境界の面積が0でなかったら、面積確定にならない。
983 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/12(月) 18:26:57 >>966は直線に微分可能とかなんか条件があったほうがいいのかな 一応連続なのは仮定して良いのかな？ 「曲線」といった場合不連続なグラフのことをいう場合があるけど （選択公理がない数学だと、R^2が可算個の曲線の和集合として（りゃ みたいな場合）
