面白い問題おしえて~な@数学板 幾何20051211184306

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幾何10-16
966 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/11(日) 18:43:06
平面上に長さ1の曲線が一本ある。
点集合Sをこの曲線上の点から距離1以内にある点の集合だとするとき、
Sの最大値もとめてくれ

967 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/11(日) 18:47:24
点集合の最大値ってどういうこと?

968 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/11(日) 18:49:58
ごめん、Sの面積

解答
969 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/11(日) 19:07:15
>>966
曲線自体も変化するの?なら勘で長さ1の線分のとき。

970 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/11(日) 19:07:33
5.14

971 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/11(日) 19:08:21
>>969
うん、曲線が変化する・・・っていうか、曲線以外何か動かせそうなものあるかな

977 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/11(日) 22:07:52
>>966
でけた。以下N(S)={x| |x-y|≦1 ∃y∈S}とする。
・補題 Cが長さlの折れ線のときN(C)の面積はπ+2l以下である。
(証明) 折れる回数に関する帰納法。線分のときはあきらか。Cがn回折れてる折れ線とする。
CをC=C’∪C’’、C’’は線分、C’は折れてる回数がn-1回の線分と分割する。
C’、C’’の長さをl’、l’’とする。帰納法の仮定よりN(C’)の面積はπ+2l’以下。
のこりの部分はC’とC’’の継ぎ目をPとするときにN(C’’)\N(C’)は
N(C’’)\N({P})にふくまれるが後者の面積はちょうど2l’’。
よってN(C)の面積はπ+2l以下である。□
これと折れ線近似の理論を用いて長さlの曲線CについてN(C)の面積はπ+2l以下である。
l=1のときは2π+2、と思う。

978 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/11(日) 22:40:03
いきなり2πってなったのなんで??

979 名前:977[sage] 投稿日:2005/12/12(月) 00:28:38
>>978
書き間違えっすorz。答えはおそらくπ+2。

980 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/12(月) 06:51:16
>>966
Sの面積ってちゃんと定まるの?Sの境界の面積が0でなかったら、面積確定にならない。

983 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/12(月) 18:26:57
>>966は直線に微分可能とかなんか条件があったほうがいいのかな
一応連続なのは仮定して良いのかな?

「曲線」といった場合不連続なグラフのことをいう場合があるけど
(選択公理がない数学だと、R^2が可算個の曲線の和集合として(りゃ みたいな場合)