面白い問題おしえて~な@数学板 幾何20050525184818

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問題

977 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/05/25(水) 18:48:18
△ABCはAB=ACたる二等辺三角形である。
Cから辺ABに垂線を下し,その足をMとし,Mから辺BCに垂線を下し,その足をNとする。
MN=3,AN=4のとき,ABの長さはいくらか。

解答

15 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2005/06/01(水) 18:22:18
各点の座標を
A=(u,v), B=(b,0), C=(c,0), M=(0,m), N=(0,0)
とおく.ただし u^2+v^2=AN^2=4^2, m=NM=3.

t=(v-m)/uとすると直線MBとMCは次のようにあらわされる
直線MB: y=tx+m, 直線MC: y=-(x/t)+m
したがって,b=-(m/t),c=mt=-m^2/b と書ける.

△ABCがAB=ACなる二等辺三角形である条件は
u = (b+c)/2 = (b-m^2/b)/2 ∴ -2bu + b^2 = m^2

すると
AB^2 = (u-b)^2 + v^2
= (u^2 + v^2) + (-2ub + b^2)
= AN^2 + AM^2
= 25

よってAB=5.

21 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/06/02(木) 01:46:06
>>14
>>15お見事
おくればせながら>>14の別解
BCの中点をHとする
AB^2 = AH^2 + BH^2
4^2 = AH^2 + NH^2
上の式から下の式を引くと
AB^2 - 4^2 = BH^2 - NH^2 = (BH + NH )(BH - NH)
NはBC上にあるのでBH - NH > 0であり、
右辺は BN * CN(=CN * BN)に等しい
一方△BMN ∽ △MCNであるので
BN / 3 = 3/ CN よって BN * CN = 3^2
AB^2 - 4^2 = 3^2
∴AB = 5