面白い問題おしえて~な@数学板 解析20051206234457

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解析10-7
908 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2005/12/06(火) 23:44:57
あるマラソン選手は40kmの距離をちょうど2時間で走る。
このとき、この2時間の間に、彼がちょうど1km走った3分間が存在することを示せ。
今年の信州大学の問題です。

解答
909 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/06(火) 23:51:26
そのまんま平均値の定理じゃね

910 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/07(水) 00:22:21
>>905
宿題は質問スレに書け! クズめ!

911 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/07(水) 00:27:47
なんか最近宿題スレと勘違いしてる奴が居るんだよなあ

912 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/07(水) 02:04:26
>>908
この問題、数オリの練習問題集で解いたことがある。もしかしたら数値まで一緒だったかも…
f(t)=(スタートしてからt分間に走った距離) (km) (0≦t≦120)とおく。f(0)=0,f(120)=40である。
fは連続関数としてよい。g(x)=f(3x+3)-f(x)-1 (0≦x≦39)とすると、
g(0)+g(1)+g(2)+…+g(39)=f(120)-f(0)-40=0…*
よって、ある0≦a<b≦39が存在してg(a)g(b)≦0が成り立つ
(*の両辺を2乗してΣg(i)g(j)=-(1/2)Σg(i)^2≦0となるので、
全ての0≦a<b≦39に対してg(a)g(b)>0だと矛盾するから)。
gもまた連続だから、中間値の定理からa<c<bかつg(c)=0を満たすcが存在する。
このcに対してf(3c+3)-f(c)=1 が成り立つので、確かに ちょうど1km走った3分間が存在する。

917 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/07(水) 02:34:55
ミスったw文脈から分かると思うけど、
【誤】g(x)=f(3x+3)-f(x)-1,f(3c+3)-f(c)=1
【正】g(x)=f(3x+3)-f(3x)-1,f(3c+3)-f(3c)=1

>>913
赤かったかな?一昨年に図書館で借りた本で、もう その本の題名も覚えてない。