数論１１－１
4 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/12(月) 18:03:52
ｵﾒｶﾞ乙！
(1)ある自然数mが存在して、任意の自然数nをΣ[i＝2～m]ai^i (各aiは非負整数)の形に表すことが出来るか。
↑分かると思うけど、mはnに依らない定数。あと、iが2から始まってるのはﾀｲﾌﾟﾐｽではない。
(2)非負整数列{fk(n)}(n，k∈Z)が、どんなkについてもfk(0)＝0，inf[n∈Z－{0}]fk(n)/n^(k＋2)＞0 を
満たすとする。このとき、ある自然数mが存在して、任意の自然数nをΣ[i＝0～m]fi(ai) (各aiは非負整数)の
形に表すことが出来るか。
5 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/12(月) 20:39:09
>>4
(2)fk(n)を偶数のみからなる列にしたらもうだめなんじゃないの？
6 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/12(月) 20:49:57
>>5
その場合は確かに駄目。でも、他の場合は？もしかしたら、駄目じゃないfk(n)が存在するかもしれない。
でも、もしかしたら どんなfk(n)でもアウトかもしれない。それを聞いているのが(2)。
解答
7 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/12(月) 21:02:45
>>6
できる例もってんの？
8 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/12(月) 21:08:40
>>7
それ言ったらヒントになっちゃうじゃないか。
9 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/12(月) 21:09:45
>>4
両方ない気がする。∑1/nは発散するけど∑1/fk(n)って収束するから
凸不等式とかつかったらいいんじゃね？
12 名前：9[sage] 投稿日：2005/12/12(月) 21:23:09
>>9は撤回。
23 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/13(火) 23:17:18
>>9の問題かんがえてるんだけど
∫∫[xi≧1]1/(x1^2+x2^3+･･･+xn^(n+1))dx1dx2･･･dxnってnが大きいと発散するよね？
