面白い問題おしえて~な@数学板 数論20051212180352

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数論11-1


4 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/12(月) 18:03:52
オメガ乙!

(1)ある自然数mが存在して、任意の自然数nをΣ[i=2~m]ai^i (各aiは非負整数)の形に表すことが出来るか。
↑分かると思うけど、mはnに依らない定数。あと、iが2から始まってるのはタイプミスではない。
(2)非負整数列{fk(n)}(n,k∈Z)が、どんなkについてもfk(0)=0,inf[n∈Z-{0}]fk(n)/n^(k+2)>0 を
満たすとする。このとき、ある自然数mが存在して、任意の自然数nをΣ[i=0~m]fi(ai) (各aiは非負整数)の
形に表すことが出来るか。

5 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/12(月) 20:39:09
>>4
(2)fk(n)を偶数のみからなる列にしたらもうだめなんじゃないの?

6 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/12(月) 20:49:57
>>5
その場合は確かに駄目。でも、他の場合は?もしかしたら、駄目じゃないfk(n)が存在するかもしれない。
でも、もしかしたら どんなfk(n)でもアウトかもしれない。それを聞いているのが(2)。

解答

7 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/12(月) 21:02:45
>>6
できる例もってんの?

8 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/12(月) 21:08:40
>>7
それ言ったらヒントになっちゃうじゃないか。

9 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/12(月) 21:09:45
>>4
両方ない気がする。∑1/nは発散するけど∑1/fk(n)って収束するから
凸不等式とかつかったらいいんじゃね?

12 名前:9[sage] 投稿日:2005/12/12(月) 21:23:09
>>9は撤回。

23 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/13(火) 23:17:18
>>9の問題かんがえてるんだけど
∫∫[xi≧1]1/(x1^2+x2^3+・・・+xn^(n+1))dx1dx2・・・dxnってnが大きいと発散するよね?