幾何20051213154232 - 面白い問題おしえて～な＠数学板

幾何１１－１

20 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/12/13(火) 15:42:32
正方形を作図するとき、コンパスは最低何回必要になるか。

※１　コンパスの軸をずらす、又は描く円の半径の大きさを変える等するまでを１回とする。
※２　点を打って「１辺０cmの正方形」というのは面白くない。

解答

21 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/13(火) 15:44:56
３回はできた
２回は可能だろうか

24 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/13(火) 23:18:13
>>21
２回で可能かどうかはおいといて３回の答えおしえてください。

25 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/13(火) 23:34:54
長方形があれば、そこからコンパスを2回用いて
正方形を切り出せることは容易。

そこでまずOを中心とする円を描き（1回目）、その直径をABとする。
円周上にCを取り、COの延長と円の交点をDとする。
これでADCBは長方形になるから、あと2回で正方形ができる。

26 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/13(火) 23:39:57
直線引いて垂線をひく（コンパス２回）
交点を中心に円を描く

27 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/13(火) 23:41:53
途中で書き込んじゃった。
直線引いて垂直な直線をかく（コンパス２回）
交点を中心に円を描く（３回目）
円がそれぞえの直線と交わったところを結ぶ

28 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/12/14(水) 00:03:38
2回で可能だね

29 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/14(水) 00:06:47
>>27をヒントに２回でできた。
点Oを中心に円Pを描き、直径ABを描く。
AB以外の円周上の点Cをとると、
直線ACとBCは垂直。
よって、以下>>27と同じ。

30 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/14(水) 00:07:29
>>28
おお！さすがにそれが最小値だろうな。やりかたおしえてくらはい。

31 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/14(水) 00:08:29
>>29
なーるほど。ＧＪ！

32 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/12/14(水) 00:32:24
1回でいけそうな予感

33 名前：32[] 投稿日：2005/12/14(水) 00:43:37
1回でいけた．

(1)中心をOとする円を描く
(2)2本の異なる直径AB,CDをひく．
(3)AC上に適当な点Eをとり，ABとDEとの交点をFとする．
(4)OEとCFとの交点をGとし，AGとBCとの交点をHとすればOHはBCの
中点．
(5)同様の手順でACの中点Iを求める．
(6)OH,OIを延長し円との交点を四つ結べば正方形．

(4)はメネラウスの定理から
(AE/EC)(CD/DO)(OF/FA)=1
AHとOCの交点をPとすればチェバの定理から
(AE/EC)(CP/PG)(GF/FA)=1
が成り立つことからCP/PG=CD/DO=2となり，Pが△ABCの重心となる
ことからHがBCの中点であることが言える．

34 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/14(水) 01:30:44
こういうことか
ttp://www.vipper.org/vip157815.jpg

すごいな

添付画像

35 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/14(水) 01:33:02
0回は無理ですか？
てかコンパスなしで直角を作るのがそもそも無理？

36 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/14(水) 02:14:24
一回でできるなんて想像すらしなかったな。

37 名前：32[] 投稿日：2005/12/14(水) 02:18:51
>>29で直径→直角のアイデアがあったからそれを使ってみた．
中点とるのはだいぶ前に正方形7等分をやった時のと同じ手法．

41 名前：20[] 投稿日：2005/12/14(水) 18:37:33
思いのほか盛り上がっていただけた様で光栄です。
こちらの用意していた解答は出題時点で3回、今日2回を思いついたのですが、
まさか1回があるとは…。>>32氏thx。

ということで追加問題。正規解答は期待しないで下さいまし。

1.任意の長さの1辺を持つ正方形を作図するとき、コンパス（ry
2.正五角形を作図する時、コンパ（ry。また、任意の長さの1辺を持つ正五角形（ry。

幾何１へ続く。

47 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/16(金) 04:47:07
>>33
間違いを訂正しろ。
話はそれからだ！

48 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/16(金) 08:33:44
>>47
>>33はおかしいの？

49 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/16(金) 14:51:25
チェバの定理から～の後

(AE/EC)(CP/PG)(GF/FA)=1
が成り立つことからCP/PG=CD/DO=2となり，
↓
(AE/EC)(CP/PO)(OF/FA)=1
が成り立つことからCP/PO=CD/DO=2となり，

ってことじゃない？