面白い問題おしえて~な@数学板 幾何20051213154232

※上記の広告は60日以上更新のないWIKIに表示されています。更新することで広告が下部へ移動します。

幾何11-1

20 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2005/12/13(火) 15:42:32
正方形を作図するとき、コンパスは最低何回必要になるか。

※1 コンパスの軸をずらす、又は描く円の半径の大きさを変える等するまでを1回とする。
※2 点を打って「1辺0cmの正方形」というのは面白くない。

解答

21 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/13(火) 15:44:56
3回はできた
2回は可能だろうか

24 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/13(火) 23:18:13
>>21
2回で可能かどうかはおいといて3回の答えおしえてください。

25 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/13(火) 23:34:54
長方形があれば、そこからコンパスを2回用いて
正方形を切り出せることは容易。

そこでまずOを中心とする円を描き(1回目)、その直径をABとする。
円周上にCを取り、COの延長と円の交点をDとする。
これでADCBは長方形になるから、あと2回で正方形ができる。

26 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/13(火) 23:39:57
直線引いて垂線をひく(コンパス2回)
交点を中心に円を描く

27 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/13(火) 23:41:53
途中で書き込んじゃった。
直線引いて垂直な直線をかく(コンパス2回)
交点を中心に円を描く(3回目)
円がそれぞえの直線と交わったところを結ぶ

28 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2005/12/14(水) 00:03:38
2回で可能だね

29 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/14(水) 00:06:47
>>27をヒントに2回でできた。
点Oを中心に円Pを描き、直径ABを描く。
AB以外の円周上の点Cをとると、
直線ACとBCは垂直。
よって、以下>>27と同じ。

30 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/14(水) 00:07:29
>>28
おお!さすがにそれが最小値だろうな。やりかたおしえてくらはい。

31 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/14(水) 00:08:29
>>29
なーるほど。GJ!

32 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2005/12/14(水) 00:32:24
1回でいけそうな予感

33 名前:32[] 投稿日:2005/12/14(水) 00:43:37
1回でいけた.

(1)中心をOとする円を描く
(2)2本の異なる直径AB,CDをひく.
(3)AC上に適当な点Eをとり,ABとDEとの交点をFとする.
(4)OEとCFとの交点をGとし,AGとBCとの交点をHとすればOHはBCの
中点.
(5)同様の手順でACの中点Iを求める.
(6)OH,OIを延長し円との交点を四つ結べば正方形.

(4)はメネラウスの定理から
(AE/EC)(CD/DO)(OF/FA)=1
AHとOCの交点をPとすればチェバの定理から
(AE/EC)(CP/PG)(GF/FA)=1
が成り立つことからCP/PG=CD/DO=2となり,Pが△ABCの重心となる
ことからHがBCの中点であることが言える.

34 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/14(水) 01:30:44
こういうことか
ttp://www.vipper.org/vip157815.jpg

すごいな


35 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/14(水) 01:33:02
0回は無理ですか?
てかコンパスなしで直角を作るのがそもそも無理?

36 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/14(水) 02:14:24
一回でできるなんて想像すらしなかったな。

37 名前:32[] 投稿日:2005/12/14(水) 02:18:51
>>29で直径→直角のアイデアがあったからそれを使ってみた.
中点とるのはだいぶ前に正方形7等分をやった時のと同じ手法.

41 名前:20[] 投稿日:2005/12/14(水) 18:37:33
思いのほか盛り上がっていただけた様で光栄です。
こちらの用意していた解答は出題時点で3回、今日2回を思いついたのですが、
まさか1回があるとは…。>>32氏thx。

ということで追加問題。正規解答は期待しないで下さいまし。

1.任意の長さの1辺を持つ正方形を作図するとき、コンパス(ry
2.正五角形を作図する時、コンパ(ry。また、任意の長さの1辺を持つ正五角形(ry。
幾何1へ続く。

47 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/16(金) 04:47:07
>>33
間違いを訂正しろ。
話はそれからだ!

48 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/16(金) 08:33:44
>>47
>>33はおかしいの?

49 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/16(金) 14:51:25
チェバの定理から~の後

(AE/EC)(CP/PG)(GF/FA)=1
が成り立つことからCP/PG=CD/DO=2となり,
↓
(AE/EC)(CP/PO)(OF/FA)=1
が成り立つことからCP/PO=CD/DO=2となり,

ってことじゃない?
添付ファイル