面白い問題おしえて~な@数学板 幾何20051224021928


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幾何11-3

78 名前:数セミから拝借してチョット変えてみました。[] 投稿日:2005/12/24(土) 02:19:28
次の条件を満たす平面上の閉曲線S考える。

・Sは原点を通る任意の直線と2点で交わる
・Sは原点を中心とする単位円周の任意の接線と2点で交わる
・|a|<1とする。Sは直線y=aと2点で交わる
・|a|<1とする。Sは直線x=aと2点で交わる

このとき、Sは原点を中心とする単位円周と言えるか。

79 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/24(土) 02:22:47
>>78
>・Sは原点を中心とする単位円周の任意の接線と2点で交わる
 
こんな条件があんのになんでSが単位円周になりえるわけ?

80 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/24(土) 02:25:56
楕円 x^2/9 + y^2/4 = 1 とかでもいいような

81 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2005/12/24(土) 02:29:28
>79
すみません。書き間違えました。2点ではなく1点です。

82 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/24(土) 02:30:21
>>81
一点のみを共有する?交わるじゃなくて?

83 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2005/12/24(土) 02:34:19
>82
交わるです。

84 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/24(土) 02:35:17
>>83
じゃあ単位円周でもその条件みたしてないじゃん。

85 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2005/12/24(土) 02:38:29
>84
何故ですか?馬鹿ですみません。1点を共有する=1点で交わるとの解釈です。

86 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/24(土) 02:42:02
>>85
普通わざわざ“交わる”という単語をつかうときは“接する”状態はふくめないだろ?
てか“共有点をもつ”ってかけばその手のまぎらわしさなしに伝わるんだから。
なんでわざわざそんな誤解をうむ言葉づかいするんだよ?

87 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/24(土) 02:44:44
>>79
“閉曲線”は“単純閉曲線”?

88 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2005/12/24(土) 02:52:06
>86
接することも交わることとの解釈からです。
あと、(単位円周でないようなSがあった場合に)交わるとの表記の方が一般性を持つだろうとの判断です。
誤解を与えたならば申し訳ありません

89 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2005/12/24(土) 02:54:34
>87
そういう方向で。単純でない場合はこちらも全く考えていなかったので…。

解答

90 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/24(土) 03:32:23
>>89
じゃあこんな感じで。
S1={(x,y)|x^2+y^2=1}とおく。同型写像f:S1→Sを固定しておく。
以下閉半直線L(θ)をL(θ)={(rcosθ,rsinθ) | r≧1}
とする。まずL(θ)∩S=φを示す。あるp∈L(θ)∩Sがとれたとする。
M:{(x,y)| xcosθ+ysinθ=1}、N:{(x,y)| xcosθ+ysinθ=-1}とおく。
仮定よりS∩Nは空でないのでq∈S∩Nをとる。同型写像g:S1→Sを
g((1,0))=p、g(-1,0)=qととる。
gの連続性と直線Mによって分割される2つの開半平面のことなる成分にp,qがあるから
からα=(cosu,sinu)、β=(cosv,sinv)をg(α)、g(β)∈S∩M、0<u<π、-π<v<0ととれる。
しかしこれはS∩Mが1元集合であることに反する。
よってS∩L(θ)は任意のθに対し空である。
これをもちいてSが単位円であることをしめす。仮定により任意のφにたいして
S∩{(x,y)| xcosφ+ysinφ=1}は1元集合{p}とかけるがもしp≠(cosφ、sinφ)であれば
pはあるθをとってL(θ)にふくまれる。これは前段の帰結に反する。
よってS∩{(x,y)| xcosφ+ysinφ=1}=(cosφ,sinφ)である。これからSが単位円周となることは容易。□

91 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/24(土) 04:37:25
・Sは単純閉曲線
・Sは原点を中心とする単位円周の任意の接線と1点で交わる

↑この2条件だけでよくね?

92 名前:91[sage] 投稿日:2005/12/24(土) 05:50:45
デキタ。でも説明するのマンドクセ。泥臭い方法だし。