面白い問題おしえて~な@数学板 数論20050602032642

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問題

22 名前:未解決[sage] 投稿日:2005/06/02(木) 03:26:42
自然数 n が次の性質を満たすとき、nを「良い数」と呼ぶことにする。

性質:nをいくつかの正整数の和にうまく分割すると、それらの逆数の和を1にできる。
    すなわち n=a1+a2+‥‥+ak 、 (1/a1)+(1/a2)+‥‥+(1/ak)=1 とできる。

例1:9は良い数である。9=3+3+3 であり、1/3+1/3+1/3=1。
例2:10は良い数ではない。実際どのような分割に対しても、逆数の和が1にはならない。
例3:11は良い数である。11=2+3+6、1/2+1/3+1/6=1。

問題:良くない数は高々有限個であることを示し、その最大値を求めよ。

25 名前:22[sage] 投稿日:2005/06/02(木) 10:21:14
訂正。10は良い数でした。10=4+4+2。

>>23
良くない数:=自然数であって良い数ではない数

解答


26 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/06/02(木) 13:13:41
>>22 すげー汚いし、有限性だけだけど

n が十分大きいとき、n を分割して逆数の和を 1 にするアルゴリズムを示す

(1) n≡0 (mod 2) なら a_1=8、そうでなければ a_1=9+72 として、
n_1=n-a_1 とする。n_1≡0 (mod 2) は明らか。
(2) n_1≡0 (mod 4) なら a_2=8、そうでなければ a_2=10+40 として、
n_2=n_1-a_2 とする。n_2≡0 (mod 4) は明らか。
(3) n_2≡0 (mod 8) なら a_3=8、そうでなければ a_3=12+24 として、
n_3=n_2-a_3 とする。n_3≡0 (mod 8) は明らか。
(4) n_3=8(29+n_4) と分割する。
任意の自然数は4個の(0を含む)平方数の和で表せるので、
n_4 = b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + b_4^2 とする。
(5) b_1~b_4 に 0 が k 個 (0≦k≦3) 含まれているとする。
n_5=29-k, n_6=n_4+k とする。n_3=8(n_5+n_6)、
n_6 = c_1^2 + c_2^2 + c_3^2 + c_4^2 (c_i > 0) となる。

以上で n = a_1 + a_2 + a_3 + 8n_5 + 8Σc_i^2 と分割できた。

(6) a_1,a_2,a_3 は分割して逆数の和を 1/8 にできる。
(7) 26≦n_5≦29 で、26~29 は良い数。
(26=4+4+6+6+6, 27=3+6+6+6+6, 28=4+4+4+8+8, 29=2+3+12+12)
n_5 = Σk_i, Σ1/k_i = 1 とできるので、
8n_5 = Σ8k_i, Σ1/(8k_i) = 1/8 のように
8n_5 を分割して逆数の和を 1/8 にできる。
(8) 8c_i^2 を c_i 個の 8c_i に分割すれば、逆数の和を 1/8 にできる。

以上で a_1, a_2, a_3, 8n_5, 8c_i (1≦i≦4) をそれぞれ分割して、
逆数の和を 1/8 にできたので、
n を分割して逆数の和を 1 にできる。

27 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/06/03(金) 03:54:35
>>22
>>26の議論で、400以上の良くない数は存在しないことがわかる
もう少し修正すれば、上限を 250 程度まで下げられる

適当にプログラム書いて調べてみたら、
(完全探索じゃないし、あまりチェックしてないけど)
↓以外は良い数みたい

2,3,5,6,7,8,12,13,14,15,19,21,23,24,30,31,32,33,37,39,43,57

あとは 57 が本当に良くない数かどうか調べなきゃならない

28 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/06/03(金) 04:10:38
33=3+3+9+9+9
57=3+9+9+9+9+9+9
だった

2,3,5,6,7,8,12,13,14,15,19,21,23,24,30,31,32,37,39,43

29 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/06/03(金) 04:39:48
あわわ…
24=2+4+6+12
30=2+3+10+15
31=2+4+5+20
32=2+3+9+18
37=2+3+8+24
39=2+6+6+10+15
43=3+6+6+8+8+12

残り
2,3,5,6,7,8,12,13,14,15,19,21,23

30 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/06/03(金) 05:48:06
24以下の数は4個以下の数の組合せで表される。

4個以下の組み合わせをリストアップ。
(1)(2,2)(2,3,6)(2,4,4)(3,3,3)
(2,3,7,42)(2,3,8,24)(2,3,9,18)(2,3,10,15)(2,3,12,12)
(2,4,5,20)(2,4,6,12)(2,4,8,8)(2,5,5,10)(2,6,6,6)
(3,3,4,12)(3,3,6,6)(3,4,4,6)(4,4,4,4)

和が24以下になるのは和が1,4,9,10,11,16,17,18,20,22,24の時。
>>29の残りと合わせて全部。

35 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/06/03(金) 09:49:32
>>31
>>26のアルゴリズムが動くには、(4)のところで
n_3 ≧ 8(29+1) = 240
であればよい。
n_3 = n - (a_1 + a_2 + a_3),
a_1 + a_2 + a_3 ≦ 81 + 50 + 36 = 167
だから、n ≧ 240 + 167 = 407 であれば十分。

あと、26~29 が4個の連続する良い数であることを
使っていて、これは 24~27 に置き換えられるから、
そのときは n ≧ 8(27+1) + 167 = 391 であれば十分。
つまり、391以上の良くない数は存在しない。

(5)の書き方おかしかったけど、
これは、4個の0を含む平方数の和だと具合が悪いから、
4個の0でない平方数の和になるように、
29 のほうから必要なぶんだけ(k個の)1をもらって来て、
b_i=0 のところを 1 で埋めてる。

4平方数の定理はこのへん
ttp://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuron/node40.html

41 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/06/05(日) 06:24:05
>>31 >>35
上限を落として 56 以上の良くない数が存在しないことが言える。

n = 6a + b (a>0, b∈{30,33,35,50,52,55}) と分割する。
a を4個以下の正の平方数の和で表せば、
6a を分割して逆数の和を 1/6,2/6,3/6,4/6 のいずれかにできる。
b を分割して逆数の和を 2/6,3/6,4/6,5/6 のいずれにもできる(*)ので、
結局 n を分割して逆数の和を 1 にできる。

(*)
30 = 6+12+12 = 3+9+18 = 3+9+9+9 = 2+8+8+12
33 = 6+9+18 = 6+9+9+9 = 3+6+12+12 = 2+6+10+15
35 = 5+15+15 = 3+8+24 = 4+4+9+18 = 2+6+9+18
50 = 10+10+15+15 = 5+5+20+20 = 4+6+8+16+16 = 2+12+12+12+12
52 = 4+24+24 = 3+7+42 = 3+10+12+12+15 = 2+10+10+15+15
55 = 6+7+42 = 5+5+15+30 = 3+4+24+24 = 2+4+21+28