面白い問題おしえて~な@数学板 幾何20051124175731

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幾何10-12
674 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2005/11/24(木) 17:57:31
平面上にいくつか点を置く
どの3つの点も一直線上になく,どの2つの点の距離も整数である
平面上にはいくつまで点を置けるか?
また,その置き方は?
さらに,立体まで拡張したらどうか?

解答
675 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2005/11/24(木) 18:04:55
>>674
与えられたnに対して
題意を満たすようにn点を平面状に配置することは可能。

682 名前:675[] 投稿日:2005/11/24(木) 22:06:08
>>674
「どの2点間の距離も有理数である」として略証をしめす。

(補題1)
任意の整数nに対して
0<θ<(π/(2n))かつcosθ,sinθがともに有理数であるθが存在する。
(補題1の証明)
sinθ=2m/(m^2+1) cosθ=(m^2-1)/(m^2+1) (mは整数)とすると
mを十分大きくすれば (x>0のとき sinx<xを用いて)
補題の成立が言える。
(補題2)
cosθ,sinθがともに有理数のとき任意の整数nについて
sin(nθ)は有理数である。
(補題2の証明)
加法定理より自明。

(本題の証明)
補題1で構成したθを用いて
n個の点Pi(cos(2iθ),sin(2iθ))(i=1,2,3,..,n)を単位円上に配置する。
ここでPiとPj(i<j)の距離は 2sin((j-i)θ)で補題2よりこれは有理数。

683 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/11/25(金) 02:07:59
これが無限個の点にすると成り立たなくなるから不思議だよなぁ。

684 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2005/11/25(金) 22:01:48
>>683
無限個は存在しない証明おながいできますか?

685 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/11/25(金) 22:17:40
>>684
おながいと言うのをやめたら書いてやってもいい!

686 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2005/11/25(金) 22:21:15
>>685
おねがいするぴょん

687 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2005/11/25(金) 22:22:17
>684
大数の2005年3月号、宿題読め ぜんぶ同じ

688 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/11/25(金) 22:28:03
>>686
心が篭ってないから、書きかけたけどやめた

689 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/11/25(金) 22:31:05
>>688
えぇ――――――!!!!!!!!
心をこめておねがいします。

690 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/11/25(金) 22:36:46
>>687
大数の2005年3月号、宿題の答えも3月号にのってるすか?大数なんか
ヨンだことないからわかんね。大学の図書館にも当然ないし。とりよせんのもなー。
どっか立ち読みできる本屋ないすか?関西圏で。

691 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2005/11/25(金) 22:45:07
>690
どこの本屋でも立ち読みできるよ。たまに立ち読みすると楽しい