幾何１０－１２
674 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/11/24(木) 17:57:31 平面上にいくつか点を置く どの3つの点も一直線上になく,どの2つの点の距離も整数である 平面上にはいくつまで点を置けるか? また,その置き方は? さらに,立体まで拡張したらどうか?
解答
675 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/11/24(木) 18:04:55 >>674 与えられたｎに対して 題意を満たすようにｎ点を平面状に配置することは可能。
682 名前：675[] 投稿日：2005/11/24(木) 22:06:08 >>674 「どの２点間の距離も有理数である」として略証をしめす。 （補題1） 任意の整数ｎに対して 0＜θ＜(π/(2n))かつcosθ,sinθがともに有理数であるθが存在する。 （補題1の証明） sinθ=2m/(m^2+1) cosθ=(m^2-1)/(m^2+1) (mは整数）とすると mを十分大きくすれば （x>0のとき sinx<xを用いて） 補題の成立が言える。 （補題２） cosθ,sinθがともに有理数のとき任意の整数ｎについて sin(nθ)は有理数である。 （補題２の証明） 加法定理より自明。 （本題の証明） 補題１で構成したθを用いて ｎ個の点Pi(cos(2iθ),sin(2iθ))(i=1,2,3,..,n)を単位円上に配置する。 ここでPiとPj(i<j)の距離は 2sin((j-i)θ)で補題２よりこれは有理数。
683 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/11/25(金) 02:07:59 これが無限個の点にすると成り立たなくなるから不思議だよなぁ。
684 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/11/25(金) 22:01:48 >>683 無限個は存在しない証明おながいできますか？
685 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/11/25(金) 22:17:40 >>684 おながいと言うのをやめたら書いてやってもいい！
686 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/11/25(金) 22:21:15 >>685 おねがいするぴょん
687 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/11/25(金) 22:22:17 >684 大数の2005年3月号、宿題読め ぜんぶ同じ
688 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/11/25(金) 22:28:03 >>686 心が篭ってないから、書きかけたけどやめた
689 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/11/25(金) 22:31:05 >>688 えぇ――――――!!!!!!!! 心をこめておねがいします。
690 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/11/25(金) 22:36:46 >>687 大数の2005年3月号、宿題の答えも3月号にのってるすか？大数なんか ヨンだことないからわかんね。大学の図書館にも当然ないし。とりよせんのもなー。 どっか立ち読みできる本屋ないすか？関西圏で。
691 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/11/25(金) 22:45:07 >690 どこの本屋でも立ち読みできるよ。たまに立ち読みすると楽しい
