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* 解析１１－２
> 177 名前：1[sage] 投稿日：2006/01/02(月) 19:22:40
> 謹賀新年。
> 
> 地上に置くと、秒速1cmで歩く虫がいる。
> 長さが10cmの、いくらでも延びるゴムひもがある。
> 
> (1) 虫をゴムひもの一端に乗せ、ひもの上を他端に向けて歩かせる。
> 同時に、ゴムひもが毎秒10cmの割合で延びていくとする。
> このとき虫は他端に到着できるだろうか？
> 
> (2) ゴムひもの長さを表す函数をr(t)とするとき、虫が他端に
> 到着できるためにr(t)が満たすべき条件はどんなものか？
> ちなみに(1)では、r(t)=10+10tである。
> 
> なお、ゴムひもは一様に延びるものとする。たとえば、ひもの中点に
> 印を付けると、ひもがどんなに延びても印は中点のままである。

> 178 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/02(月) 21:49:06
> >>177
> ゴムひもがのびることによって虫のスピードはあがると考えていいすか？
> t秒放置したのち一瞬でt･10cmのばすという操作を繰り返すとかんがえて
> t→0とするとかんがえると虫は毎秒1cmよりはやくなるよね？この方針で桶？

> 179 名前：1[sage] 投稿日：2006/01/03(火) 02:12:44
> >>178
> ひもの一端を地面に固定した上で、虫の対地速度を考えれば、それでおｋ。
> この場合、たとえば中点の対地移動速度は5cm/sなので、
> 仮に虫が中点にいたとすると、その瞬間には虫は対地速度6cm/sで
> 移動していることになる。
> 
> なお(2)については、およその見当はついているものの、
> 厳密な解答は持っていませんのであしからず。

* 解答
> 181 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/03(火) 02:59:19
> >>179
> だとするとこう？
> ゴムひもをx=0に固定しもう片方の端がx>0をx=r(t)にしたがってうごくとする。
> このゴムひも上をx軸正の方向にゴム上を等速度vでうごくとする。
> t秒後の虫の位置をs(t)としてs’=v+(s/r)r’。変形して(s/r)’=v/r。
> s(0)=0からs/r=∫[0,t](v/r)dt。“虫がもう一端に達する⇔s/r=1となる時刻がある”である。
> (1)r=10t+10、v=1のときs/r=∫[0,t](1/(10t+10))dt=(1/10)(log(10t+10)-log10)であるからt=e^10-1で到達する。
> (2)もう一端に達しない⇔∫[0,t](1/r)dt＜1/v (∀t)
> たとえばr(t)=ve^tのときならもう一端には到達しない。

> 182 名前：1[sage] 投稿日：2006/01/03(火) 03:33:58
> >>181
> ご名答。俺も今さっき、(2)も同じ結論に達したところ。
> 「虫がもう一端に達する⇔∫[0,T](v/r)dt=1となる正の時刻Tがある」ですな。
> 
> v=1、r(t)=10+t^2 とすると、もう無理。
> v=1、r(t)=10+at^2 （a＞0）の場合、aが小さければ届きそうなんだけど、
> 計算が面倒なので放棄。
> 
> 蛇足ながら、(1)の、到達できることの簡単な説明を。
> まず、ひもの1/10の地点が1cm/sで動いているのに対し、
> 虫は1cm/sより若干は速く進んでいることを考えれば、
> 1/10の地点には到達できる。この瞬間の虫の対地速度は2cm/s。
> ひもの2/10の地点が2cm/sで動いているので、2/10地点にも到達できる。
> この瞬間の虫の対地速度は3cm/s。以下同様にして、3/10、4/10、‥と
> 次々に到達できることがわかる。
> 

* 解析１１－２
> 177 名前：1[sage] 投稿日：2006/01/02(月) 19:22:40
> 謹賀新年。
> 
> 地上に置くと、秒速1cmで歩く虫がいる。
> 長さが10cmの、いくらでも延びるゴムひもがある。
> 
> (1) 虫をゴムひもの一端に乗せ、ひもの上を他端に向けて歩かせる。
> 同時に、ゴムひもが毎秒10cmの割合で延びていくとする。
> このとき虫は他端に到着できるだろうか？
> 
> (2) ゴムひもの長さを表す函数をr(t)とするとき、虫が他端に
> 到着できるためにr(t)が満たすべき条件はどんなものか？
> ちなみに(1)では、r(t)=10+10tである。
> 
> なお、ゴムひもは一様に延びるものとする。たとえば、ひもの中点に
> 印を付けると、ひもがどんなに延びても印は中点のままである。

* 解答
> 178 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/02(月) 21:49:06
> >>177
> ゴムひもがのびることによって虫のスピードはあがると考えていいすか？
> t秒放置したのち一瞬でt･10cmのばすという操作を繰り返すとかんがえて
> t→0とするとかんがえると虫は毎秒1cmよりはやくなるよね？この方針で桶？

> 179 名前：1[sage] 投稿日：2006/01/03(火) 02:12:44
> >>178
> ひもの一端を地面に固定した上で、虫の対地速度を考えれば、それでおｋ。
> この場合、たとえば中点の対地移動速度は5cm/sなので、
> 仮に虫が中点にいたとすると、その瞬間には虫は対地速度6cm/sで
> 移動していることになる。
> 
> なお(2)については、およその見当はついているものの、
> 厳密な解答は持っていませんのであしからず。

> 181 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/03(火) 02:59:19
> >>179
> だとするとこう？
> ゴムひもをx=0に固定しもう片方の端がx>0をx=r(t)にしたがってうごくとする。
> このゴムひも上をx軸正の方向にゴム上を等速度vでうごくとする。
> t秒後の虫の位置をs(t)としてs’=v+(s/r)r’。変形して(s/r)’=v/r。
> s(0)=0からs/r=∫[0,t](v/r)dt。“虫がもう一端に達する⇔s/r=1となる時刻がある”である。
> (1)r=10t+10、v=1のときs/r=∫[0,t](1/(10t+10))dt=(1/10)(log(10t+10)-log10)であるからt=e^10-1で到達する。
> (2)もう一端に達しない⇔∫[0,t](1/r)dt＜1/v (∀t)
> たとえばr(t)=ve^tのときならもう一端には到達しない。

> 182 名前：1[sage] 投稿日：2006/01/03(火) 03:33:58
> >>181
> ご名答。俺も今さっき、(2)も同じ結論に達したところ。
> 「虫がもう一端に達する⇔∫[0,T](v/r)dt=1となる正の時刻Tがある」ですな。
> 
> v=1、r(t)=10+t^2 とすると、もう無理。
> v=1、r(t)=10+at^2 （a＞0）の場合、aが小さければ届きそうなんだけど、
> 計算が面倒なので放棄。
> 
> 蛇足ながら、(1)の、到達できることの簡単な説明を。
> まず、ひもの1/10の地点が1cm/sで動いているのに対し、
> 虫は1cm/sより若干は速く進んでいることを考えれば、
> 1/10の地点には到達できる。この瞬間の虫の対地速度は2cm/s。
> ひもの2/10の地点が2cm/sで動いているので、2/10地点にも到達できる。
> この瞬間の虫の対地速度は3cm/s。以下同様にして、3/10、4/10、‥と
> 次々に到達できることがわかる。
>