幾何１０－１０
347 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/09/25(日) 21:34:42 平面上に直線が何本かあり、直線同士が交わって出来る交点が2つ以上あるとする。 この時、いずれかの交点は直線が2本だけしか通ってない事を証明せよ。
解答
352 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/09/26(月) 23:42:56 >>347 泥臭いかもしれないけどゴリゴリやったらできた･･･ハズ。 もしそのような直線の有限集合Sが存在したとする。l∈Sをひとつ固定する。 Pを交点の集合としてPの元でl上でなくかつlとの距離が最小であるものの一つXをとる。 まずaを通る直線でlと平行でないものが3つ以上あるときを考える。 そのうちの３つをm,n,kとする.。m,n,kとlの交点をy,z,wとするときY,Z,Wがl上この順に ならんでいるとしてよい。すると仮定よりzを通る直線がlとn以外にもう一つ必要だが それはかならず線分XYか線分XZの端点以外の部分と共有点をもつことになり その点はXよりもlとの距離が小さくなる。これはXの取り方に反する。 よってXを通るSの元は３個であり内一つはlと平行。それをmとする。 直交座標xyを設定してl:y=0、m:y=1と仮定して一般性をうしなわない。 l上の点でx座標が最大である点をA(a,0)、m上の点でx座標が最大である点をB(b,1)とする。 さらにBをとおる直線でmとの交点のx座標が最大になる点をC(c,0)、 Aをとおる直線でlとの交点のx座標が最大になる点をD(d,1)とおく。 c<aと仮定する。Aを通るl以外の直線は２つ以上あるのでいづれかはBをとおらない。 それをkとおく。するとkはlのx>bの部分かまたは線分BCの両端点以外の部分と交叉する。 これはbの最大性やXがもっともlに近いこと等に反する。よってc=a。同様にしてd=b。 Aを通るlと直線AB以外のSの元uと、Bを通るmと直線AB以外のSの元vをとる。 仮定よりuとmの交点をE(f,1)とすればbの最大性よりf<b。 vとlの交点をE(e,0)とすればaの最大性よりe<a。よってABFEはこの順で台形ABFEの頂点と なるが対角線AFとBEの交点のy座標は0より大きく1より小さい。矛盾。
353 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/09/26(月) 23:55:23 ウチの本によると、>>347と>>303は同値であるらしい。同値であることの 証明は載ってなかったけど。 で、本に載ってた>>347の証明を読んだが、方針は>>352と同じで「Pの元で l上でなくかつlとの距離が最小であるものの一つXをとる。」として始めて いた。その後は 面倒な計算なしに かなりすっきり終わってた。
303 とは 幾何９
354 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/09/26(月) 23:56:39 >>353 その本を紹介してください。
355 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/09/27(火) 00:29:20 初等的に解いた高等数学の問題(III) 数学新書 ア・エム・ヤグロム他 東京図書 でつ。
