面白い問題おしえて~な@数学板 幾何20050925213442


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幾何10-10

347 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/09/25(日) 21:34:42
平面上に直線が何本かあり、直線同士が交わって出来る交点が2つ以上あるとする。
この時、いずれかの交点は直線が2本だけしか通ってない事を証明せよ。

解答

352 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2005/09/26(月) 23:42:56
>>347
泥臭いかもしれないけどゴリゴリやったらできた・・・ハズ。
もしそのような直線の有限集合Sが存在したとする。l∈Sをひとつ固定する。
Pを交点の集合としてPの元でl上でなくかつlとの距離が最小であるものの一つXをとる。
まずaを通る直線でlと平行でないものが3つ以上あるときを考える。
そのうちの3つをm,n,kとする.。m,n,kとlの交点をy,z,wとするときY,Z,Wがl上この順に
ならんでいるとしてよい。すると仮定よりzを通る直線がlとn以外にもう一つ必要だが
それはかならず線分XYか線分XZの端点以外の部分と共有点をもつことになり
その点はXよりもlとの距離が小さくなる。これはXの取り方に反する。
よってXを通るSの元は3個であり内一つはlと平行。それをmとする。
直交座標xyを設定してl:y=0、m:y=1と仮定して一般性をうしなわない。
l上の点でx座標が最大である点をA(a,0)、m上の点でx座標が最大である点をB(b,1)とする。
さらにBをとおる直線でmとの交点のx座標が最大になる点をC(c,0)、
Aをとおる直線でlとの交点のx座標が最大になる点をD(d,1)とおく。
c<aと仮定する。Aを通るl以外の直線は2つ以上あるのでいづれかはBをとおらない。
それをkとおく。するとkはlのx>bの部分かまたは線分BCの両端点以外の部分と交叉する。
これはbの最大性やXがもっともlに近いこと等に反する。よってc=a。同様にしてd=b。
Aを通るlと直線AB以外のSの元uと、Bを通るmと直線AB以外のSの元vをとる。
仮定よりuとmの交点をE(f,1)とすればbの最大性よりf<b。
vとlの交点をE(e,0)とすればaの最大性よりe<a。よってABFEはこの順で台形ABFEの頂点と
なるが対角線AFとBEの交点のy座標は0より大きく1より小さい。矛盾。

353 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/09/26(月) 23:55:23
ウチの本によると、>>347と>>303は同値であるらしい。同値であることの
証明は載ってなかったけど。
で、本に載ってた>>347の証明を読んだが、方針は>>352と同じで「Pの元で
l上でなくかつlとの距離が最小であるものの一つXをとる。」として始めて
いた。その後は 面倒な計算なしに かなりすっきり終わってた。

303 とは 幾何9

354 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/09/26(月) 23:56:39
>>353
その本を紹介してください。

355 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/09/27(火) 00:29:20
初等的に解いた高等数学の問題(III)
数学新書
ア・エム・ヤグロム他
東京図書

でつ。