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* 解析１１－３
> 231 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/11(水) 12:56:47
> 東大スレよりコピペ
> ---
> 関数x(t)、y(t)はx:[0,1]→R、y:[0,1]→Rの連続関数であり、
> x(0)=y(0)=0、x(1)=y(1)=1を満たす。
> 
> この時、次の二つの問いに答えよ。
> (1)
> 任意の実数t∈(0,1)に対し、x(t)、y(t)のうち少なくとも一つが無理数である。
> という条件を満たすx(t)、y(t)の例を一つ求めよ。
> 
> (2)
> 任意の実数t∈(0,1)に対し、x(t)、y(t)のうち少なくとも一つが有理数である。
> という条件を満たすx(t)、y(t)は存在するか。

> 233 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2006/01/11(水) 17:36:35
> >>231
> (1) たとえばx(t)=t, y(t)=log2(t+1)
> (2) すべての自然数と,0<a<1を満たすすべての有理数は、オイラーの対角線論法によって
> 1対1に対応することが示されている。したがって(x(t),y(t))の組と対応するtも、自然数と1対1に対応しなければならない。
> ところが実数tの濃度は自然数より濃いから、これは矛盾である。

> 234 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/11(水) 17:58:14
> >>233
> (2)はおれもそれ考えたけど、x(t)やy(t)がある値を
> 無限回とる場合とかはまずいよね。なんか引っ掛けっぽい。
> 
> 答えは存在するよね。
> x(t)
> = 0 on [0, 1/2)
> = 2t - 1 on [1/2, 1]
> 
> y(t)
> = 2t on [0, 1/2)
> = 1 [1/2, 1]

> 235 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2006/01/11(水) 18:40:55
> >>234
> (2)に何か条件を付けてみたらどうなる？
> 如何なる小さな（空でない）区間でも定数でないとか。

> 236 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/11(水) 19:23:08
> ＞如何なる小さな（空でない）区間でも定数でないとか。
> 単調増加ってこと？
> だったら>233 の議論が成立してるよね。

> 237 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2006/01/11(水) 19:49:37
> >>236
> 単調とは全然限らないよ。
> 例えば折れ線グラフ。
> これでは（反）例は出来ないだろうが。

> 239 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/11(水) 21:18:11
> 反例が存在するとすると、x(t) か y(t) がある値を
> 不加算回とることになると思うんだけど、仮に
> x(t) = c が不加算個の零点を持つとすると
> どこかに連続濃度で零点の集積点が存在してて
> そっから定数区間の存在とか言えそうな気がする。
> 
> 直感で書いてるので変なこと言ってるかもしれないが。

> 240 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/11(水) 21:22:17
> とりあえず普通は非加算って言うと思う

> 241 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2006/01/11(水) 21:29:33
> 非可算だろう

> 249 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/12(木) 00:16:47
> >>231
> x(0)=y(0)=0、x(1)=y(1)=√2
> に変えるとどうなる？

> 250 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/12(木) 00:33:22
> (0,0)→(1,0)→(1,1)→(1.4, 1)→(1.4, 1.4)→(1.41, 1.4)→(1.41, 1.41)→(1.414, 1.41)→...
> な折れ線で(√2, √2) まで結んでいけばok
> 
> あー、お茶漬けがたべたい。

> 251 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/12(木) 00:38:34
> (1,0)→(1,1)はまずかろう

> 252 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/12(木) 00:41:12
> >>250
> なるほど 

* 解析１１－３
> 231 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/11(水) 12:56:47
> 東大スレよりコピペ
> ---
> 関数x(t)、y(t)はx:[0,1]→R、y:[0,1]→Rの連続関数であり、
> x(0)=y(0)=0、x(1)=y(1)=1を満たす。
> 
> この時、次の二つの問いに答えよ。
> (1)
> 任意の実数t∈(0,1)に対し、x(t)、y(t)のうち少なくとも一つが無理数である。
> という条件を満たすx(t)、y(t)の例を一つ求めよ。
> 
> (2)
> 任意の実数t∈(0,1)に対し、x(t)、y(t)のうち少なくとも一つが有理数である。
> という条件を満たすx(t)、y(t)は存在するか。

*解答
> 233 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2006/01/11(水) 17:36:35
> >>231
> (1) たとえばx(t)=t, y(t)=log2(t+1)
> (2) すべての自然数と,0<a<1を満たすすべての有理数は、オイラーの対角線論法によって
> 1対1に対応することが示されている。したがって(x(t),y(t))の組と対応するtも、自然数と1対1に対応しなければならない。
> ところが実数tの濃度は自然数より濃いから、これは矛盾である。

> 234 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/11(水) 17:58:14
> >>233
> (2)はおれもそれ考えたけど、x(t)やy(t)がある値を
> 無限回とる場合とかはまずいよね。なんか引っ掛けっぽい。
> 
> 答えは存在するよね。
> x(t)
> = 0 on [0, 1/2)
> = 2t - 1 on [1/2, 1]
> 
> y(t)
> = 2t on [0, 1/2)
> = 1 [1/2, 1]

> 235 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2006/01/11(水) 18:40:55
> >>234
> (2)に何か条件を付けてみたらどうなる？
> 如何なる小さな（空でない）区間でも定数でないとか。

> 236 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/11(水) 19:23:08
> ＞如何なる小さな（空でない）区間でも定数でないとか。
> 単調増加ってこと？
> だったら>233 の議論が成立してるよね。

> 237 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2006/01/11(水) 19:49:37
> >>236
> 単調とは全然限らないよ。
> 例えば折れ線グラフ。
> これでは（反）例は出来ないだろうが。

> 239 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/11(水) 21:18:11
> 反例が存在するとすると、x(t) か y(t) がある値を
> 不加算回とることになると思うんだけど、仮に
> x(t) = c が不加算個の零点を持つとすると
> どこかに連続濃度で零点の集積点が存在してて
> そっから定数区間の存在とか言えそうな気がする。
> 
> 直感で書いてるので変なこと言ってるかもしれないが。

> 240 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/11(水) 21:22:17
> とりあえず普通は非加算って言うと思う

> 241 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2006/01/11(水) 21:29:33
> 非可算だろう

> 249 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/12(木) 00:16:47
> >>231
> x(0)=y(0)=0、x(1)=y(1)=√2
> に変えるとどうなる？

> 250 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/12(木) 00:33:22
> (0,0)→(1,0)→(1,1)→(1.4, 1)→(1.4, 1.4)→(1.41, 1.4)→(1.41, 1.41)→(1.414, 1.41)→...
> な折れ線で(√2, √2) まで結んでいけばok
> 
> あー、お茶漬けがたべたい。

> 251 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/12(木) 00:38:34
> (1,0)→(1,1)はまずかろう

> 252 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/12(木) 00:41:12
> >>250
> なるほど