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* 問題
> 82 名前：78[] 投稿日：2005/06/29(水) 21:37:33
> おっと、反例があったか。
> では R の部分集合 X で、任意の 0 でない実数 a が 
> a = b - c, b, c ∈ X として一意にかけるような X はあるか？

* 解答
> 89 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/07/03(日) 20:31:40
> >>86
> Ωを連続濃度とし、正の実数全体を整列させて {r_α} (α<Ω) とする。
> 実数の集合 V_α (α<Ω) を以下のように定める。
> 
> 1) V_0 = 空集合
> 2) αが極限順序数のとき、V_α = ∪V_β (β<α)
> 3) α=β+1 のとき。
> V_βの濃度はΩより小さいことが帰納法により証明できる。
> 
> イ) V_β中の2点で距離が r_β となるものがあれば、V_α=V_β とする。
> 
> ロ) V_β中の2点で距離が r_β となるものがないときは、
> V_βに距離が r_β となるような2点 {x,y} を新たにつけ加える。
> 
> 距離が r_β となるような2点 x,y で、
> x,y のどちらかが、 V_βの元であるか、V_β のある点との距離が
> V_β 中のある2点間の距離として実現されているような x,y の組の濃度もΩより小さい。
> 距離が r_β となるような2点の組全体の濃度はΩだから、上の条件を満たさないような
> x,y の組が存在するので、V_α=V_β∪{x,y} と定める。
> 
> V=∪V_α (α<Ω) と定めれば、V が求める集合となる。

> 90 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/07/03(日) 20:38:48
> ちょっと工夫が必要だが、同じようにして次もできる。
> 
> ユークリッド平面の点集合 V で次を満たすものがある。
> 1) V のどの異なる3点も一直線上にはない。
> 2) どんな三角形に対しても、V の異なる3点を頂点とする三角形で、
> 与えられた三角形と合同になるものがただひとつ存在する。

> 91 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/07/03(日) 20:41:16
> >>89
> ＞V_α=V_β∪{x,y}
> 　
> とさだめたときV_αの任意の異なる４元a,b,c,dでa-b=c-dを満たすものがないことの
> 保証がよくわからないんだけど。

> 92 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/07/03(日) 20:56:59
> ごめんなさい。{x,y} の条件に次を追加する必要があった。
> (*) x,y の中点は、V_β の2点の中点と一致しない。
> 
> 
> V_β∪{x,y}から4点 a,b,c,d を取ったとき、a-b≠c-d を示す。
> 
> a,b,c∈V_β で d=x のとき。
> c,x の距離が V_β の2点 a,b の距離と一致するので、x,y の定め方に反する。
> 
> a,b の距離が r_β (=x,y の距離) となることはないので、
> a,b∈V_β で c=x,d=y は起き得ない。
> 
> a,c∈V_β で b=x,d=y のとき、
> a-x=c-d より a-c=x-y となるので上と同様。
> 
> a,d∈V_β で b=x,c=y のとき。(この場合が抜けていた)
> a,d の中点と b,c の中点が一致してしまう。

> 93 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/07/03(日) 21:15:03
> >>92
> 今度は
> V_β中の2点で距離が r_β となるものがないとき
> 距離が r_β となるような2点 {x,y} で
> (*)x,y の中点は、V_β の2点の中点と一致しない
> を満たす {x,y} が存在することの保証がいると思うんだけど。

> 94 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/07/03(日) 21:54:04
> V_β の2点の中点全体の濃度もΩより小さいので、それは容易。

> 95 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/07/03(日) 22:02:25
> >>94
> 濃度に関する議論なんかでホントにいえんの？ちょっと信じられないんだけど。
> 詳しく解説おながいしまつ。

> 96 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/07/03(日) 22:07:33
> x,y の距離は r_β と決っているから、x,y の組と x,y の中点は 1対1 に対応している。

> 97 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/07/03(日) 22:11:50
> >>96
> それはわかってるけど。それで？

> 98 名前：97[sage] 投稿日：2005/07/03(日) 22:18:11
> あ、いやわかったかも。なるほど。いえてるね。