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幾何１０－１２
> 674 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/11/24(木) 17:57:31
> 平面上にいくつか点を置く
> どの3つの点も一直線上になく,どの2つの点の距離も整数である
> 平面上にはいくつまで点を置けるか?
> また,その置き方は?
> さらに,立体まで拡張したらどうか?

解答
> 675 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/11/24(木) 18:04:55
> >>674
> 与えられたｎに対して
> 題意を満たすようにｎ点を平面状に配置することは可能。

> 682 名前：675[] 投稿日：2005/11/24(木) 22:06:08
> >>674
> 「どの２点間の距離も有理数である」として略証をしめす。
> 
> （補題1）
> 任意の整数ｎに対して
> 0＜θ＜(π/(2n))かつcosθ,sinθがともに有理数であるθが存在する。
> （補題1の証明）
> sinθ=2m/(m^2+1) cosθ=(m^2-1)/(m^2+1) (mは整数）とすると
> mを十分大きくすれば　（x>0のとき　sinx<xを用いて）
> 補題の成立が言える。
> （補題２）
> cosθ,sinθがともに有理数のとき任意の整数ｎについて
> sin(nθ)は有理数である。
> （補題２の証明）
> 加法定理より自明。
> 
> （本題の証明）
> 補題１で構成したθを用いて
> ｎ個の点Pi(cos(2iθ),sin(2iθ))(i=1,2,3,..,n)を単位円上に配置する。
> ここでPiとPj(i<j)の距離は　2sin((j-i)θ)で補題２よりこれは有理数。

> 683 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/11/25(金) 02:07:59
> これが無限個の点にすると成り立たなくなるから不思議だよなぁ。

> 684 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/11/25(金) 22:01:48
> >>683
> 無限個は存在しない証明おながいできますか？

> 685 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/11/25(金) 22:17:40
> >>684
> おながいと言うのをやめたら書いてやってもいい！

> 686 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/11/25(金) 22:21:15
> >>685
> おねがいするぴょん

> 687 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/11/25(金) 22:22:17
> >684
> 大数の2005年3月号、宿題読め ぜんぶ同じ

> 688 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/11/25(金) 22:28:03
> >>686
> 心が篭ってないから、書きかけたけどやめた

> 689 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/11/25(金) 22:31:05
> >>688
> えぇ――――――!!!!!!!!
> 心をこめておねがいします。

> 690 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/11/25(金) 22:36:46
> >>687
> 大数の2005年3月号、宿題の答えも3月号にのってるすか？大数なんか
> ヨンだことないからわかんね。大学の図書館にも当然ないし。とりよせんのもなー。
> どっか立ち読みできる本屋ないすか？関西圏で。

> 691 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/11/25(金) 22:45:07
> >690
> どこの本屋でも立ち読みできるよ。たまに立ち読みすると楽しい