面白い問題おしえて~な@数学板 確率20051126180954

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確率10-11
699 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2005/11/26(土) 18:09:54
一辺が100の正方形の中からランダムに3つ点を取る
その3点を頂点とする三角形の面積の平均はいくらか?

解答
731 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/11/28(月) 03:17:44
>>699
正方形の一辺を 1 として計算する。

三点の位置ベクトルを P,Q,R、三角形の面積を S とすれば、 
∫SdPdQdR を計算すればいいが、次のような変数 r,θ,h,t,h',t' で計算する。
正方形の中心を O として、r = |PR↑|、
ある一辺から反時計回りに計った PR↑ の角度を θ(0≦θ<2π)、
O から直線 PR に下ろした脚を H として、
OH の長さを h (PR↑から反時計回りに π/2 回転した方向を正とする)、
HP の長さを t (PR↑の方向を正とする)、
Q を通り、直線 PR に平行な直線に O から下ろした脚を H' として、
同様に OH' の長さを h', H'Q の長さを t' とする。

dPdQdR = rdtdt'drdh'dhdθ, S = (1/2)r|h-h'| で、面積の平均値は
E(S) = (1/2) ∫ r^2 |h-h'| dtdt'drdh'dhdθ。

パラメータ (θ,h) の直線から正方形が切り取る線分の長さを L(θ,h) とする。

E(S) の被積分関数は t,t' によらず、∫dt = L(θ,h)-r, ∫dt' = L(θ,h') から、
E(S) = (1/2) ∫ r^2 |h-h'| L(θ,h') {L(θ,h)-r} drdh'dhdθ

問題の対称性から、積分領域を 0≦θ≦π/4, h≧0 に制限する(そのかわり積分値を 8*2 倍する)。
0≦r≦L(θ,h), -(c+s)/2≦h'≦(c+s)/2, 0≦h≦(c+s)/2, 0≦θ≦π/4
(c = cos(θ), s = sin(θ) と置いた。以下もこれに従う)
が積分領域になり、0≦θ≦π/4 の範囲で L(θ,h) は次のようになる、

|h|≦(c-s)/2 のとき: L(θ,h) = 1/c
(c-s)/2<|h|≦(c+s)/2 のとき: L(θ,h) = (c+s-2|h|)/(2cs)

732 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/11/28(月) 03:18:27
(続き)
r,h',h,θ の順に積分すると、

E(S) = 8 ∫r^2 |h-h'| L(θ,h') {L(θ,h)-r} drdh'dhdθ
= (2/3) ∫ |h-h'| L(θ,h') L(θ,h)^4 dh'dhdθ
= (1/18) ∫[h = 0, (c-s)/2] L(θ,h)^4 (12h^2 + 3c^2 + s^2)/c dhdθ
 + (1/36) ∫[h = (c-s)/2, (c+s)/2] L(θ,h)^4 {(c+s-2h)^3 + 24csh}/(cs) dhdθ
= (1/180) ∫[θ = 0, π/4] (20c^3 - 18c^2s + 12cs^2 - 5s^3)/c^5 dθ
= 11/144 = 0.0763888…

一辺 100 ならこれの 100^2 倍