問題
106 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/07/10(日) 23:40:05 もう一つ。 ある立体はどのような平面で切っても断面が円（または点or空集合）になるという。 この立体は球である事を示せ。 ある立体はどのような平面に射影しても、円（または点or空集合）になるという。 この立体は球であるといえるか？
107 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/07/10(日) 23:42:09 >>106 間違った。。。 後半修正。 ある凸な立体はどのような平面に射影しても、面積が一定であるという。 この立体は球であると言えるか？
108 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/07/10(日) 23:44:27 さらに訂正・・・ 誤） 射影 正） 正射影
解答
110 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/07/11(月) 00:57:24 >>106 こっちも前半は簡単。 断面にあらわれる円の半径の最大値をRとし、断面が半径Rになる平面αをとる。 このときの円の中心をOとする。すると半径の最大性からOをとおる任意の平面で 切ったときの円の中心は常にO。よってとくにこの立体にPが属する⇔OP≦Rが成立 するので球。
125 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/07/16(土) 18:21:03 >>106 の後半は矢野健太郎が留学中に遭遇した問題。 立体図形 K がコンパクトなら K の二点 x, y で、 d(x, y) = [K の直径] になるように取る。 この二点を結ぶ直線を含む全ての平面への射影を考えれば容易。
