面白い問題おしえて~な@数学板 幾何20050710234005

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問題

106 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/07/10(日) 23:40:05
もう一つ。

ある立体はどのような平面で切っても断面が円(または点or空集合)になるという。
この立体は球である事を示せ。

ある立体はどのような平面に射影しても、円(または点or空集合)になるという。
この立体は球であるといえるか?

107 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/07/10(日) 23:42:09
>>106 間違った。。。


後半修正。

ある凸な立体はどのような平面に射影しても、面積が一定であるという。
この立体は球であると言えるか?

108 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/07/10(日) 23:44:27
さらに訂正・・・

誤) 射影
正) 正射影

解答

110 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/07/11(月) 00:57:24
>>106
こっちも前半は簡単。
断面にあらわれる円の半径の最大値をRとし、断面が半径Rになる平面αをとる。
このときの円の中心をOとする。すると半径の最大性からOをとおる任意の平面で
切ったときの円の中心は常にO。よってとくにこの立体にPが属する⇔OP≦Rが成立
するので球。

125 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2005/07/16(土) 18:21:03
>>106
の後半は矢野健太郎が留学中に遭遇した問題。
立体図形 K がコンパクトなら K の二点 x, y で、 d(x, y) = [K の直径] になるように取る。
この二点を結ぶ直線を含む全ての平面への射影を考えれば容易。