面白い問題おしえて~な@数学板 確率20050922205937

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確率10-4

320 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2005/09/22(木) 20:59:37
次のようなゲームを考える。
(1)ジョーカーを除いた52枚のトランプをよく切り山にして置く。
(2)プレーヤーは赤か黒を宣言する。
(3)山の一番上のカードを一枚めくり色を確認する。
(4)宣言とめくったカードの色が一致すれば1ポイント獲得。めくったカードは山にもどさない。
(5)これをカードが無くなるまで繰り返す。

このゲームを次の戦略で行った。
山に残っているカードが赤が多いときは赤を宣言する。
そうでないときは黒を宣言する。
この戦略を戦略Aと呼ぶ。

問1 戦略Aは必ず26ポイント以上獲得できることを示せ。
問2 必ず27ポイント以上獲得できる戦略は存在しないことを示せ。
問3 戦略Aの平均点を求めよ
問4 戦略Aはもっとも優れた戦略といえるか?

正直問3と問4は俺もわかりません。

解答

326 名前:324[sage] 投稿日:2005/09/22(木) 21:51:38
すまぬ。よみまちがえてた。答えは
((26-1/2)C[52,26]+2^5)/C[52,26]
だって。

327 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/09/22(木) 22:09:08
>>320
まず問題をn×nの碁盤目の路の各交差、三叉路に対しその右側または上側の路を
指定していくことを「戦略」とよぶこととし、この碁盤目の左下から右上に動点が最短経路
をうごく。指定した路を通過したとき1点がもらえるゲームと解釈する。
碁盤目の左下を原点右上を(n,n)とする直交座標をxy座標とする。
(問1)
戦略Aで確実にn点とれることをnに関する帰納法でしめす。
n=1では容易。n<kで成立するとしてn=kと仮定する。動点の経路が(0,0),(n,n)以外で
y=x上にのらないときは動点はつねにy≧x、またはy≦xにいる。前者なら動点が右に
動くとき、後者なら上に動くときにかならず1点もらえる。ちょうどn回づつ動点は右、上に
うごくのでn点以上もらえる。0<k<nなる整数kで(k,k)にくるときは帰納法の仮定より
(0,0)~(k,k)でk点、(k,k)~(n,n)でn-k点とれるので計n点はとれる。□
(問2)
n+1点以上とれる戦略がないことをnに関する帰納法で示す。
n=1では容易。n<kで成立するとしてn=kと仮定する。帰納法の仮定から(0,0)~(n-1,n-1)に
至る経路で高々n-1点以下しかとれない経路が存在する。(n-1,n-1)での路の指定が上なら右、
右なら上を通る経路を通るとき得点は1点しかとれないのでこの経路では高々n点しかとれない。□