数理パズル１０－４
427 名前：426[sage] 投稿日：2005/10/15(土) 06:22:36 これだけでは何なので、問題を出してみます。 以下のような半無限（上と右方向に無限）な平面があります。 一番左下に●が一つだけ置かれています。 ＋＋＋＋＋＋ ＋＋＋＋＋＋ ＋＋＋＋＋＋ ＋＋＋＋＋＋ ●＋＋＋＋＋ これに対して、次のような操作を考えます。 ＊盤上の●を一つ取り除き、代わりに●が有ったところの一つ上と一つ右に新しい●を配置 ＋＋＋ ＋＋＋ ＋＋＋ ●＋＋ ●＋＋ ＋●＋ このとき、●の上や右に既に別の●が有った場合はこの操作を行うことができません。 以上の操作を繰り返して、左下の３ｘ３のマスから●を除くことができるでしょうか？ できる場合はその手順を、できない場合はその証明をしてください。
解答
431 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/10/15(土) 16:27:19 このように考えるのはどうだろう？ ＞このとき、●の上や右に既に別の●が有った場合はこの操作を行うことができません。 まず↑このルールを無視して●の重なりを許すことにする （元のルールでもこの無視したルールの手数以上かかるのは明らか。） このとき３ｘ３のマスから●をすべて追い出すのに最低かかる手数を考えると１９手かかる。（詳細は略） 一手に付き一個●が増えるのだから、つまりその時点で３×３のマスの外に２０個の●があることになる。 さて、この２０個の●は、３×３のマスの外に出すことしか考えられていないから19手では４×４より外にはない。 ところが３×３のマスの外でかつ４×４のマスの中には７個の●しか存在できないので ２０個の●のうち少なくとも１３個は４×４の外に追い出すためにさらに移動をしなくてはならない。 もちろんその移動で１３個の●は倍の２６個に増えているはずだ。 同じように ２６個 の●のうち５×５のマスの中にいられるのは９個だけ。少なくとも１７個は５×５の外にあるのでその倍の ３４個 の●のうち６×６のマスの中にいられるのは１１個だけ。少なくとも２３個は６×６の外にあるのでその倍の ４６個 の‥ そのようにして、このゲームを終えるためにはこの数列がどこかで０以下にならないといけないはずなのだが‥
432 名前：431[sage] 投稿日：2005/10/15(土) 16:34:33 訂正 これを さて、この２０個の●は、３×３のマスの外に出すことしか考えられていないから これに さてここで元の●を重ねてはならないルールに立ち戻る。 この２０個の●は、３×３のマスの外に出すことしか考えられていないから
442 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/10/16(日) 01:10:00 それぞれの位置に数を与えて●のある位置の 数の合計が一定になるようにする。 最初の位置に１を与えそこから一つ進むごとに１／２倍の数を与えれば 全部で４で３×３の部分は３＋１／１６だから全て出すことはできない。
453 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/10/16(日) 02:40:02 生まれた？●をずっと上に追いやって右側に出来たやつは それもまた上に追いやってって順繰りにやっても3×3の枡から出ることがないのか？
454 名前：452[sage] 投稿日：2005/10/16(日) 02:52:42 いやいや、そんなことは無いか。ヒントには なるだろうけど。 >>453 俺もそれ考えたけど、オセロの盤で試してみたら無理っぽかった。
455 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/10/16(日) 03:17:52 ＞４５３ 無理だよ。 上の議論からもうちょっとだけがんばって見ると ＋ ＋＋ ＋＋＋ からなくすこともできないことがわかる。
457 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/10/16(日) 07:36:54 >456 あんまり面白くはないんだけど、 マスを全部●で埋めても、ってあったけど、 実際には全部うめることができないでしょ。 例えば一列目には、どんな操作をしても、●は一つしか置けない。 だから一列目に置かれている●の合計値は高々1/8。 こんな風に、より正確に数えてやると さらに小さな領域でも無理だということがわかる。
