面白い問題おしえて~な@数学板 数論20051022094349

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数論10-8

468 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2005/10/22(土) 09:43:49
ABCDに正の整数を入れて等式を成立させて下さい

(A÷B)の3乗+(C÷D)の3乗=17

解答

475 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2005/10/22(土) 17:15:20
>468
正でなくてもよければ
(-1/7)^3+(18/7)^3=17なので楕円曲線x^3+y^3=17*z^3(原点を(-1,1,0))
の加法をつかって座標を正にできるのでは?epsilon因子は3と17のみ
計算すればきっとL関数のs=1での位数が奇数になるのでは?

477 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/10/22(土) 19:00:00
(104940/40831)^3+(11663/40831)^3=17.

478 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2005/10/23(日) 22:46:32
>468
x^3+y^3=17*z^3から(1,-1,0)へのprojectionつかい変換すると
w^2=12*17*z^3-3. zを有理数で動かしてwが有理数となるものを
計算機でもとめる。もとの変数にもどすと、(x,y)=(-1/7,18/7)
と比較的小さい解がもとまる。(-1/7,18/7)でのtangentともとの
曲線の交点をもとめ、(104940/40831, 11663/40831)を得る。