解析１１－１
52 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/18(日) 03:50:57
実数列{an}に対して、Σ[i＝1～∞]aiが収束しているとする。また、実数列{bn}がβ∈Rに収束しているとする。
このとき、Σ[i＝1～∞]aibi は収束すると言えるか？
解答
53 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/18(日) 04:25:39
普通に微積か実数論の練習問題じゃね？
54 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/18(日) 05:25:59
>>52
宿題は質問スレに書け、厨房め！
55 名前：52[sage] 投稿日：2005/12/18(日) 08:09:12
は？宿題じゃねぇし。どうせアレだろ、ε－δ論法を少し弄れば「収束する」ことが証明できるとでも思ったんだろ？
息抜き程度の難易度で、それなりに楽しめる問題を見つけたと思ったんだけどなぁ…馬鹿に出題したのが間違いだったよ。
解答：収束するとは言えない。
略証)ある実数列{an}が存在して、どんなβ∈Rに対しても、βに収束する適当なbnを選べばΣaibiが発散することを示す。
an＝{(-1)^(n－1)}/nで定義される実数列{an}を考える。Σ[i＝1～∞]ai＝log2 となって収束する。
bn＝1/logn (nは偶数)，0 (nは奇数) とするとbn→0であるが、Σ[i＝1～∞]aibi＝－Σ[i＝1～∞]1/(2ilog2i)
となり、2ilog2i はi≧1において単調増加だからΣ[i＝1～∞]1/(2ilog2i)＝Σ[j＝0～∞]Σ[i＝2^j～2^(j＋1)－1]1/(2ilog2i)
≧Σ[j＝0～∞]Σ[i＝2^j～2^(j＋1)－1]1/(2*2^(j＋1)log2*2^(j＋1))＝Σ[j＝0～∞]1/{4(j＋2)log2}＝∞だから
Σ[i＝1～∞]aibi＝－∞となって発散する。一般のβ∈Rに対しては、Bn＝β＋bn とすればBn→βであるが
ΣaiBi＝βlog2＋Σaibi＝βlog2－∞＝－∞となって 発散する。
56 名前：52[sage] 投稿日：2005/12/18(日) 08:09:41
(連投失礼)
考察1：一般に、絶対収束はしないが条件収束する{an}を取ってくれば、an＝(an)^(+)－(an)^(-) (ただしx^(+)＝max{0，x}，
x^(-)＝－min{0，x})と分解するとΣ(ai)^(+)＝Σ(ai)^(-)＝＋∞，Σ{(ai)^(+)－(ai)^(-)}＝α∈Rとなっていることが
分かるから、σn→0，Σσi(ai)^(+)＝＋∞を満たすσnを選んで bn＝σn (an≧0)，0 (an＜0)とbnを構成することによって、
Σaibiが発散するようにできる。bn→β≠0の場合は、上の解答と同じように作ればよい。で、σnの構成の一例は次。
Sm＝Σ[i＝1～m](ai)^(+)とおくと 仮定よりSmは単調増加しながら発散するから、任意のn∈Nに対してあるM∈Nが存在して
m≧Mのとき常に2^n＜Smが成り立つようにできる。このようなMのうち最小のものをMnとおくと、Mnは(広義)単調増加する
自然数列で2^n＜SMn が常に成り立つ。便宜上、Mnは狭義単調増加にしておきたいので、Xn＝Mn＋nとでもおけばXnは狭義
単調増加で2^n＜(SMn≦)SXnが常に成り立つ。そこで、σnをσn＝1 (1≦n≦X1)，1/(k＋1) (Xk＜n≦X(k＋1)) と定義すれば
Σ[i＝1～Xn]σi(ai)^(+)≧(1/n)Σ[i＝1～Xn](ai)^(+)＝(SXn)/n＞(2^n)/n→∞ (n→∞)及びσn→0 (n→∞)が成り立つから、
このσnが求める数列の一例。
考察2：{an}が絶対収束する場合は、Σaibi は必ず収束する。
グチャグチャの計算だから計算ミスがあるかも(＾＾；
57 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/18(日) 08:45:00
a(n)=b(n)=(-1)^n/n^(1/2).
