面白い問題おしえて~な@数学板 解析20051218035057


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解析11-1

52 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/18(日) 03:50:57
実数列{an}に対して、Σ[i=1~∞]aiが収束しているとする。また、実数列{bn}がβ∈Rに収束しているとする。
このとき、Σ[i=1~∞]aibi は収束すると言えるか?

解答

53 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/18(日) 04:25:39
普通に微積か実数論の練習問題じゃね?

54 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/18(日) 05:25:59
>>52
宿題は質問スレに書け、厨房め!

55 名前:52[sage] 投稿日:2005/12/18(日) 08:09:12
は?宿題じゃねぇし。どうせアレだろ、ε-δ論法を少し弄れば「収束する」ことが証明できるとでも思ったんだろ?
息抜き程度の難易度で、それなりに楽しめる問題を見つけたと思ったんだけどなぁ…馬鹿に出題したのが間違いだったよ。

解答:収束するとは言えない。
略証)ある実数列{an}が存在して、どんなβ∈Rに対しても、βに収束する適当なbnを選べばΣaibiが発散することを示す。
an={(-1)^(n-1)}/nで定義される実数列{an}を考える。Σ[i=1~∞]ai=log2 となって収束する。
bn=1/logn (nは偶数),0 (nは奇数) とするとbn→0であるが、Σ[i=1~∞]aibi=-Σ[i=1~∞]1/(2ilog2i)
となり、2ilog2i はi≧1において単調増加だからΣ[i=1~∞]1/(2ilog2i)=Σ[j=0~∞]Σ[i=2^j~2^(j+1)-1]1/(2ilog2i)
≧Σ[j=0~∞]Σ[i=2^j~2^(j+1)-1]1/(2*2^(j+1)log2*2^(j+1))=Σ[j=0~∞]1/{4(j+2)log2}=∞だから
Σ[i=1~∞]aibi=-∞となって発散する。一般のβ∈Rに対しては、Bn=β+bn とすればBn→βであるが
ΣaiBi=βlog2+Σaibi=βlog2-∞=-∞となって 発散する。

56 名前:52[sage] 投稿日:2005/12/18(日) 08:09:41
(連投失礼)
考察1:一般に、絶対収束はしないが条件収束する{an}を取ってくれば、an=(an)^(+)-(an)^(-) (ただしx^(+)=max{0,x},
x^(-)=-min{0,x})と分解するとΣ(ai)^(+)=Σ(ai)^(-)=+∞,Σ{(ai)^(+)-(ai)^(-)}=α∈Rとなっていることが
分かるから、σn→0,Σσi(ai)^(+)=+∞を満たすσnを選んで bn=σn (an≧0),0 (an<0)とbnを構成することによって、
Σaibiが発散するようにできる。bn→β≠0の場合は、上の解答と同じように作ればよい。で、σnの構成の一例は次。
Sm=Σ[i=1~m](ai)^(+)とおくと 仮定よりSmは単調増加しながら発散するから、任意のn∈Nに対してあるM∈Nが存在して
m≧Mのとき常に2^n<Smが成り立つようにできる。このようなMのうち最小のものをMnとおくと、Mnは(広義)単調増加する
自然数列で2^n<SMn が常に成り立つ。便宜上、Mnは狭義単調増加にしておきたいので、Xn=Mn+nとでもおけばXnは狭義
単調増加で2^n<(SMn≦)SXnが常に成り立つ。そこで、σnをσn=1 (1≦n≦X1),1/(k+1) (Xk<n≦X(k+1)) と定義すれば
Σ[i=1~Xn]σi(ai)^(+)≧(1/n)Σ[i=1~Xn](ai)^(+)=(SXn)/n>(2^n)/n→∞ (n→∞)及びσn→0 (n→∞)が成り立つから、
このσnが求める数列の一例。
考察2:{an}が絶対収束する場合は、Σaibi は必ず収束する。

グチャグチャの計算だから計算ミスがあるかも(^^;

57 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/18(日) 08:45:00
a(n)=b(n)=(-1)^n/n^(1/2).