面白い問題おしえて~な@数学板 解析20050102192240

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解析11-2

177 名前:1[sage] 投稿日:2006/01/02(月) 19:22:40
謹賀新年。

地上に置くと、秒速1cmで歩く虫がいる。
長さが10cmの、いくらでも延びるゴムひもがある。

(1) 虫をゴムひもの一端に乗せ、ひもの上を他端に向けて歩かせる。
同時に、ゴムひもが毎秒10cmの割合で延びていくとする。
このとき虫は他端に到着できるだろうか?

(2) ゴムひもの長さを表す函数をr(t)とするとき、虫が他端に
到着できるためにr(t)が満たすべき条件はどんなものか?
ちなみに(1)では、r(t)=10+10tである。

なお、ゴムひもは一様に延びるものとする。たとえば、ひもの中点に
印を付けると、ひもがどんなに延びても印は中点のままである。

解答

178 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2006/01/02(月) 21:49:06
>>177
ゴムひもがのびることによって虫のスピードはあがると考えていいすか?
t秒放置したのち一瞬でt・10cmのばすという操作を繰り返すとかんがえて
t→0とするとかんがえると虫は毎秒1cmよりはやくなるよね?この方針で桶?

179 名前:1[sage] 投稿日:2006/01/03(火) 02:12:44
>>178
ひもの一端を地面に固定した上で、虫の対地速度を考えれば、それでおk。
この場合、たとえば中点の対地移動速度は5cm/sなので、
仮に虫が中点にいたとすると、その瞬間には虫は対地速度6cm/sで
移動していることになる。

なお(2)については、およその見当はついているものの、
厳密な解答は持っていませんのであしからず。

181 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2006/01/03(火) 02:59:19
>>179
だとするとこう?
ゴムひもをx=0に固定しもう片方の端がx>0をx=r(t)にしたがってうごくとする。
このゴムひも上をx軸正の方向にゴム上を等速度vでうごくとする。
t秒後の虫の位置をs(t)としてs’=v+(s/r)r’。変形して(s/r)’=v/r。
s(0)=0からs/r=∫[0,t](v/r)dt。“虫がもう一端に達する⇔s/r=1となる時刻がある”である。
(1)r=10t+10、v=1のときs/r=∫[0,t](1/(10t+10))dt=(1/10)(log(10t+10)-log10)であるからt=e^10-1で到達する。
(2)もう一端に達しない⇔∫[0,t](1/r)dt<1/v (∀t)
たとえばr(t)=ve^tのときならもう一端には到達しない。

182 名前:1[sage] 投稿日:2006/01/03(火) 03:33:58
>>181
ご名答。俺も今さっき、(2)も同じ結論に達したところ。
「虫がもう一端に達する⇔∫[0,T](v/r)dt=1となる正の時刻Tがある」ですな。

v=1、r(t)=10+t^2 とすると、もう無理。
v=1、r(t)=10+at^2 (a>0)の場合、aが小さければ届きそうなんだけど、
計算が面倒なので放棄。

蛇足ながら、(1)の、到達できることの簡単な説明を。
まず、ひもの1/10の地点が1cm/sで動いているのに対し、
虫は1cm/sより若干は速く進んでいることを考えれば、
1/10の地点には到達できる。この瞬間の虫の対地速度は2cm/s。
ひもの2/10の地点が2cm/sで動いているので、2/10地点にも到達できる。
この瞬間の虫の対地速度は3cm/s。以下同様にして、3/10、4/10、‥と
次々に到達できることがわかる。