解析１１－３
231 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/11(水) 12:56:47 東大スレよりコピペ --- 関数x(t)、y(t)はx:[0,1]→R、y:[0,1]→Rの連続関数であり、 x(0)=y(0)=0、x(1)=y(1)=1を満たす。 この時、次の二つの問いに答えよ。 (1) 任意の実数t∈(0,1)に対し、x(t)、y(t)のうち少なくとも一つが無理数である。 という条件を満たすx(t)、y(t)の例を一つ求めよ。 (2) 任意の実数t∈(0,1)に対し、x(t)、y(t)のうち少なくとも一つが有理数である。 という条件を満たすx(t)、y(t)は存在するか。
解答
233 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2006/01/11(水) 17:36:35 >>231 (1) たとえばx(t)=t, y(t)=log2(t+1) (2) すべての自然数と,0<a<1を満たすすべての有理数は、オイラーの対角線論法によって 1対1に対応することが示されている。したがって(x(t),y(t))の組と対応するtも、自然数と1対1に対応しなければならない。 ところが実数tの濃度は自然数より濃いから、これは矛盾である。
234 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/11(水) 17:58:14 >>233 (2)はおれもそれ考えたけど、x(t)やy(t)がある値を 無限回とる場合とかはまずいよね。なんか引っ掛けっぽい。 答えは存在するよね。 x(t) = 0 on [0, 1/2) = 2t - 1 on [1/2, 1] y(t) = 2t on [0, 1/2) = 1 [1/2, 1]
235 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2006/01/11(水) 18:40:55 >>234 (2)に何か条件を付けてみたらどうなる？ 如何なる小さな（空でない）区間でも定数でないとか。
236 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/11(水) 19:23:08 ＞如何なる小さな（空でない）区間でも定数でないとか。 単調増加ってこと？ だったら>233 の議論が成立してるよね。
237 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2006/01/11(水) 19:49:37 >>236 単調とは全然限らないよ。 例えば折れ線グラフ。 これでは（反）例は出来ないだろうが。
239 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/11(水) 21:18:11 反例が存在するとすると、x(t) か y(t) がある値を 不加算回とることになると思うんだけど、仮に x(t) = c が不加算個の零点を持つとすると どこかに連続濃度で零点の集積点が存在してて そっから定数区間の存在とか言えそうな気がする。 直感で書いてるので変なこと言ってるかもしれないが。
240 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/11(水) 21:22:17 とりあえず普通は非加算って言うと思う
241 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2006/01/11(水) 21:29:33 非可算だろう
249 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/12(木) 00:16:47 >>231 x(0)=y(0)=0、x(1)=y(1)=√2 に変えるとどうなる？
250 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/12(木) 00:33:22 (0,0)→(1,0)→(1,1)→(1.4, 1)→(1.4, 1.4)→(1.41, 1.4)→(1.41, 1.41)→(1.414, 1.41)→... な折れ線で(√2, √2) まで結んでいけばok あー、お茶漬けがたべたい。
251 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/12(木) 00:38:34 (1,0)→(1,1)はまずかろう
252 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/12(木) 00:41:12 >>250 なるほど
