面白い問題おしえて~な@数学板 解析20050111125647

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解析11-3

231 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2006/01/11(水) 12:56:47
東大スレよりコピペ
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関数x(t)、y(t)はx:[0,1]→R、y:[0,1]→Rの連続関数であり、
x(0)=y(0)=0、x(1)=y(1)=1を満たす。

この時、次の二つの問いに答えよ。
(1)
任意の実数t∈(0,1)に対し、x(t)、y(t)のうち少なくとも一つが無理数である。
という条件を満たすx(t)、y(t)の例を一つ求めよ。

(2)
任意の実数t∈(0,1)に対し、x(t)、y(t)のうち少なくとも一つが有理数である。
という条件を満たすx(t)、y(t)は存在するか。

解答

233 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2006/01/11(水) 17:36:35
>>231
(1) たとえばx(t)=t, y(t)=log2(t+1)
(2) すべての自然数と,0<a<1を満たすすべての有理数は、オイラーの対角線論法によって
1対1に対応することが示されている。したがって(x(t),y(t))の組と対応するtも、自然数と1対1に対応しなければならない。
ところが実数tの濃度は自然数より濃いから、これは矛盾である。

234 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2006/01/11(水) 17:58:14
>>233
(2)はおれもそれ考えたけど、x(t)やy(t)がある値を
無限回とる場合とかはまずいよね。なんか引っ掛けっぽい。

答えは存在するよね。
x(t)
= 0 on [0, 1/2)
= 2t - 1 on [1/2, 1]

y(t)
= 2t on [0, 1/2)
= 1 [1/2, 1]

235 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2006/01/11(水) 18:40:55
>>234
(2)に何か条件を付けてみたらどうなる?
如何なる小さな(空でない)区間でも定数でないとか。

236 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2006/01/11(水) 19:23:08
>如何なる小さな(空でない)区間でも定数でないとか。
単調増加ってこと?
だったら>233 の議論が成立してるよね。

237 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2006/01/11(水) 19:49:37
>>236
単調とは全然限らないよ。
例えば折れ線グラフ。
これでは(反)例は出来ないだろうが。

239 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2006/01/11(水) 21:18:11
反例が存在するとすると、x(t) か y(t) がある値を
不加算回とることになると思うんだけど、仮に
x(t) = c が不加算個の零点を持つとすると
どこかに連続濃度で零点の集積点が存在してて
そっから定数区間の存在とか言えそうな気がする。

直感で書いてるので変なこと言ってるかもしれないが。

240 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2006/01/11(水) 21:22:17
とりあえず普通は非加算って言うと思う

241 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2006/01/11(水) 21:29:33
非可算だろう

249 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2006/01/12(木) 00:16:47
>>231
x(0)=y(0)=0、x(1)=y(1)=√2
に変えるとどうなる?

250 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2006/01/12(木) 00:33:22
(0,0)→(1,0)→(1,1)→(1.4, 1)→(1.4, 1.4)→(1.41, 1.4)→(1.41, 1.41)→(1.414, 1.41)→...
な折れ線で(√2, √2) まで結んでいけばok

あー、お茶漬けがたべたい。

251 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2006/01/12(木) 00:38:34
(1,0)→(1,1)はまずかろう

252 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2006/01/12(木) 00:41:12
>>250
なるほど